Учебное пособие для педагогических университетов и педагогических институтов Челябинск 2003г

§ 4. Математика древнего Вавилона

Наряду с долиной Нила, другим районом массового поселения первобытных людей на Ближнем и Среднем Востоке была долина рек Тигра и Евфрата – Двуречье, или Месопотамия. Здесь, как и в долине Нила, очень плодородные почвы, поэтому первобытный человек, наряду с обычными в то время способами добываниями пищи, занялся земледелием. В конце IV тысячелетия до н.э. в Южном Двуречье складывается рабовладельческий строй в виде небольших государств. В III тысячелетии до н.э. в Двуречье существуют только два, но зато крупных государства двух различных племен – шумеров и аккаденян. В XXIII в. до н.э. оба государства были объединены аккадским царем. Вавилонское царство в борьбе с иноземными завоеваниями не раз испытало периоды подъема и упадка. В 729 г. до н.э. Вавилон был завоеван Ассирией, а в 538 г. до н.э. Ассирийско-Вавилонское царство было захвачено персами.

Стимулы развития математики в Вавилоне были примерно те же, что и в Египте: нужно было строить большие общественные здания и крепости, для нужд земледелия приходилось сооружать каналы и дамбы, нужно было вычислять длины, площади и объемы, считать налоги, составлять календарь. Царские указы и математические расчеты составляли писцы.
Вавилоняни писали на сырых глиняных табличках, которые затем сушили на солнце или обжигали в печах. Этот материал был весьма долговечен, поэтому большое количество исписанных табличек сохранилось до наших дней. Основным знаком при письме был клин; по этой причине вавилонская письменность называется клинописной. Клин выдавливали на глине специальной треугольной деревянной палочкой.
А рифметика. Вавилонская нумерация чисел также была клинописной. Основными знаками в ней были вертикальный клин ∇ и горизонтальный . Эта нумерация была изобретена шумерами. Приведем примеры записи чисел по вавилонской системе (рис.2).

Рис.2

(т.е. 3721 = 3600 + 2 ∙ 60 + 1).
О тсюда видно, что от 1 до 59 вавилонская система строилась по аддитивному принципу, который использовался и в Египте. Новое начинается в числа 60: один и тот же знак ∇ в зависимости от его позиции мог означать и 1, и 60, и 3600, а знак - и 10, и 600, и 36000. Следовательно, эта система по своему типу была шестидесятеричной позиционной. Точнее, она была полупозиционной, так как не было знака для нуля; знак для нуля появился, но сравнительно поздно и не получил широкого распространения. Конечно, отсутствие знака для нуля доставляло неудобства, но в задачах практического характера обычно по тексту легко было догадаться, каков порядок рассматриваемого числа.
Почему в Вавилоне в качестве основания системы счисления было выбрано такое большое число -60? На этот счет существует несколько гипотез. наиболее правдоподобной представляется следующая. Население Вавилонского царства было смешанным, и вавилонская культура сложилась в результате слияния культур нескольких народов. В частности, нужно было переводить меры одного народа в меры другого. Например, если у четырех народов применялись системы мер с основаниями 5, 10, 12 и 20, то наиболее удобным числом для такого перевода было 60 – наименьшее общее кратное этих чисел.
Ш естидесятеричная система счисления распространялась и на дроби: знак ∇ мог означать так же или , а знак − =
или = .
Сложение и вычитание натуральных чисел и дробей выполнялись примерно так же, как и в нашей десятичной позиционной системе. Характерной особенностью умножения и деления в Вавилоне являлось широкое использование специальных таблиц. Применялись следующие таблицы: таблицы умножения натуральных чисел (от 1∙1 до 59∙59); таблица обратных чисел, с помощью которой деление заменялось умножением на число, обратное делителю; таблицы квадратов, кубов, квадратных и кубичных корней и некоторые другие, например, таблица значений выражения .
Арифметические задачи у вавилонян носили прикладной характер и большей частью решались с помощью пропорциональной зависимости.
Вавилоняне положили начало астрономии. Они первыми стали определять координаты светил на ночном небе. В связи с этим они делили окружность на 360 градусов, градус – на 60 минут, а также час на 60 минут. Вавилонская шестидесятеричная система счисления применялась в астрономии всеми народами Европы и Азии, которые занимались этой наукой, вплоть до XV-XVI вв. н.э. Но позиционный принцип записи чисел был распространен на арифметику лишь в средние века.
Алгебра. Вавилоняне в явной форме понятиями уравнения и неизвестного. Знаков действий и знака равенства не было ни в арифметике, ни в алгебре, отрицательные и нулевые корни уравнений не рассматривались.
В Вавилоне умели решать следующие типовые уравнения:
, 2) 3) , 4) , , где - данные положительные рациональные числа.
Уравнения первого, второго и пятого типов решались с помощью числовых таблиц – таблиц обратных чисел, умножения, квадратных и кубичных корней. Для решения квадратных уравнений третьего и четвертого типов применялись алгоритмы.
Пример 1. “Я вычел из площади сторону моего квадрата, это 870”. Имеется в виду уравнение Получилось уравнение четвертого типа.
Оно решается по верной числовой формуле
.
Обоснования способа решения, как и везде в подобных случаях, нет, но, вероятно, как и у нас, левая часть уравнения дополнялась до полного квадрата. Следовательно, вавилоняне должны были знать тождество
.
В Вавилоне умели решать такие типовые системы уравнений:
1) 2) .
Пример2. «Длина, ширина. Длину и ширину я сложил и получил 12. Затем длину и ширину перемножил, 27 получилось у меня».
Это система уравнений

Она решается по верным числовым формулам

Наиболее вероятное обоснование этого решения таково: вводилось новая переменная формулой откуда



Но для подобного решения вавилоняне должны были знать тождество

В Вавилоне умели решать и многие нетиповые уравнения и системы уравнений.

Остановимся на других знаниях вавилонян по алгебре.
Они были знакомы с арифметической и геометрической прогрессиями, в частности, умели находить сумму членов арифметической и геометрической прогрессий (для геометрической прогрессии – только для некоторых частных случаев). Они знали формулу суммы квадратов первых чисел натурального ряда. Вавилоняне умели извлекать квадратные корни по приближенной формуле

где 𝒶 и b положительны, b мало сравнительно с 𝒶. Самой этой формулы
где и положительны, мало сравнительно с 𝒶. Самой этой формулы в явном виде мы в вавилонских текстах не найдем. Но в таблице квадратных корней приводится, например, в качестве значения число . Оно получено, вероятно, следующим образом:

(точное значение есть 1,4142…).
Обоснование записанной выше приближенной формулы получить современными средствами нетрудно:
,
Так как член в правой части последнего равенства по условию мал, то им можно пренебречь.
Геометрия. Вавилоняне умели правильно вычислять площадь прямоугольника, треугольника и трапеции, объем прямой призмы и прямого кругового цилиндра. Длина окружности находилась по формуле , а площадь круга – по формуле ; в обоих случаях получаем плохое приближение для
Объем правильной четырехугольной усеченной пирамиды и объем усеченного конуса находили по неверным формулам

В Вавилоне были хорошо знакомы с подобием треугольников и с правильными многоугольниками. Была известна теорема Пифагора.
Вавилоняне умели решать уравнение + в натуральных числах, что связано с теоремой Пифагора. Позднее прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами получили название пифагоровых. Решение уравнения выполнялось с помощью формул
, ,
где 𝒶 и b - любые натуральные числа,𝒶 > b . Например, при получаем треугольник со сторонами
. В Вавилоне умели решать то же уравнение и в рациональных числах. Этот результат относится не столько к геометрии, сколько к теории чисел.
Подведем итоги. Вавилонская математика далеко превосходила египетскую, несмотря на то, что Вавилон и Египет находились рядом и существовали почти в одно и то же время. Но почему? Видимо, дело в том, что Египет был этнически однороден, а в Вавилоне было несколько народностей, каждая из которых внесла свой вклад в единую культуру Вавилонского царства. Далее, Вавилон находился на перекрестке важнейших древних торговых путей Ближнего и Среднего Востока и, следовательно, был хорошо знаком с культурой и наукой соседних народов, а Египет с его пустыней Сахарой торговые караваны старались обойти стороной.