Учебное пособие для педагогических университетов и педагогических институтов Челябинск 2003г

§5. Начало древнегреческой математики

В XI-IX вв. до н.э. на территории Греции происходит переход от первобытнообщинного строя к рабовладельческому. В VIII-VI вв. до н.э. там устанавливается рабовладельческий строй и образуются города-государства.

Помимо материковой части Греции, расположенной на Балканском полуострове, многочисленных островов и побережья Малой Азии (нынешней Турции), греки с давних пор стали заселять и другие земли, в том числе берега Черного и Азовского морей. Много греческих колоний было на побережье Италии.
В VI l в. до н.э. в результате народных восстаний в большинстве греческих городов господство рабовладельческой аристократии сменяется правление народа – демократией, конечно, ограниченной, рабовладельческой. В Vв. до н.э. греческие города, объединившись вокруг Афин, отразили нашествие страшного врага – Персии. Большая часть Vв. до н.э. – это золотой век Афин, они становятся политическим и культурным центром Греции. За короткий срок греки добились больших успехов в науках: математике, механике, философии, астрономии; в искусстве: скульптуре, живописи, архитектуре; создали замечательные произведения литературы (мифы, трагедии и комедии, поэмы Гомера “Илиада” и “Одиссея”), театр, начали проводить олимпийские игры.
Культура, наука и искусство древней Греции представляют собой уникальное явление в истории. Почему же небольшой народ за сравнительно короткое время достиг поразительных результатов в этих областях? Главная причина заключалась в демократическом правлении. Значительная часть свободного населения имела возможность участвовать в развитии культуры, науки и искусства. Важные и спорные вопросы решались на народных собраниях и в судах. Там и тут нужно было уметь тщательно аргументировать, доказывать свою точку зрения и убедительно опровергать аргументы противника, в частности, приводя их к нелепости. Отсюда в науку, в первую очередь в математику проникло доказательство: например, отсюда происходит метод доказательства от противного. Другая причина – географическое положение Греции. Греки были вынуждены издавна заниматься мореплавание и кораблестроением: это было необходимо для связи между городами, зачастую отделенными друг от друга большим расстоянием по морю, и, в частности, для торговли, поскольку греческие города многие предметы потребления могли получать только из других городов или даже из других стран. Для нужд мореплавания и кораблестроения приходилось развивать строительное дело, механику, астрономию и математику. Связи греческих городов с соседними странами давали грекам возможность познакомиться с культурными и научными достижениями соседей.
1.Письменность в Греции появилась в IX-VIII вв. до н.э. Писали в Греции на папирусе, глиняных черепках и на дощечках, покрытых воском. Позднее наиболее значительные литературные и научные сочинения стали писать и на пергаменте – тщательно обработанной коже телят и ягнят.
Первая греческая нумерация была изобретена в VIII-VII вв. до н.э. в Аттике (полуостров в Средней Греции, на котором расположены Афины) и поэтому называлась аттической. Вот примеры записи натуральных чисел по этой системе (рис.3):




Рис.3
Буквы Г, ∆, Н, Х, М - это начальные буквы греческих слов для чисел 5, 10, 100, 1000, 10000. Отсюда видно, что система счисления была десятичной непозиционной. Она далеко уступала вавилонской и была неудобна для письменных вычислений. Поэтому греки считала, в основном, на абаке. Абак представлял собой доску, разграфленную на колонки; в эти колонки раскладывались камешки по разрядному принципу.
Аттическая нумерация оказала влияние на римскую, созданную по ее образцу позднее. Абак также применялся в Риме в качестве основного инструмента счета, а в средние века – в большинстве государств Западной Европы.
Позднее, в IV-III вв. до н.э., эта нумерация у греков сменилась новой - ионийской (Иония – область на побережье малой Азии). Рассмотрим примеры записи чисел по этой системе (рис.4).

,
Рис. 4
Ионийская система счисления была десятичной непозиционной. В ней последовательные буквы греческого алфавита использовались для обозначения единиц от 1 до 9, десятков от 10 до 90 и сотен от 100 до 900. На числе 900 все буквы алфавита (включая три устаревшие, специально сохранившиеся для нумерации) исчерпывались.
Вот как записывались тысячи и десятки тысяч:


…
.
Подобная система счисления называется алфавитной. В истории известны еще несколько алфавитных систем: например, такова церковно-славянская нумерация, составленная по образцу греческой.
Вот примеры записи дробных чисел:

Последняя запись применялась только к дробям с числителем 1
2. Первой научной школой древней Греции была ионийская школа, существовавшая в VI в. До н.э. в Ионии. Основателем ее был Фалес Милетский, которого греки считали отцом греческой науки. Сам Фалес был философом, математиком и астрономом, а его школа была естественно− −научной и философской. Ионийцы в философии были наивными материалистами: они пытались объяснить мир, исходя из единого материального начала. Так, сам Фалес считал первоосновой мира воду.
Математикой в ионийской школе записался в первую очередь сам Фалес. Его заслуга в этой области состоит в том, что он явно ввел в математику доказательство. Ионийцы первыми в Греции занялись геометрией как наукой.
Фалес доказал следующие теоремы:
1) о равенстве вертикальных углов;
2) о том, что диаметр круга делит круг пополам;
3) о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника
4) о равенстве двух треугольников, имеющих равными сторону и два прилегающих угла;
5) о пересечении сторон угла параллельными прямыми (школьная теорема Фалеса) и др. Сами доказательства до нас не дошли.
3.Второй научной школой древней Греции, более крупной и уделявшей гораздо большее внимание математике, чем у ионийцев, была школа Пифагора. Она возникла в том же VI в. до н.э., но позже школы Фалеса.
Пифагор Самосский – крупнейший ученый VI в. до н.э. Он родился на острове Самос, много лет провел в Египте и Вавилоне. По возвращении в Грецию он переехал в город Кротон, греческую колонию на юге Италии, и основал там пифагорейское братство. Братство было не только научной школой, но и политическим союзом.
В братство принимались только аристократы. Вступивший в него должен был пожертвовать все свое имущество братству и проходил довольно длительный и сложный образ испытаний и посвящения; например, в течение двух лет он должен был хранить молчание. Деятельность союза держалась в тайне, а все научные открытия пифагорейцев приписывались “учителю” – Пифагору.
В философии пифагорейцы были идеалистами. Они считали, что в основе мира лежит идея числа (натурального), и по этой причине изучали свойства натуральных чисел. Пифагорейцы произвели коренное преобразование математики того времени, которая тогда сводилась к арифметике (теории чисел) и геометрии. Кроме того, они занимались гармонией (математической теорией музыки) и астрономией.
В системе взглядов пифагорейцев на мир было много мистики и суеверий. Например, четные числа они называли женскими, нечетные – мужскими, а сумма первого женского числа 2 и первого мужского 3 (1 не относили к числам, поскольку под числом понимали множество единиц), т.е. число 5, считалась символом брака. Пятиконечная звезда, образованная диагоналями правильного пятиугольника, считалась символом здоровья; она служила опознавательным знаком пифагорейцев.
Пифагорейцы приняли участие в политической борьбе, и это оказалось губительным для них. Братство было разгромлено. После смерти учителя научные открытия пифагорейцев, которые до этого держались в тайне, получили широкую известность благодаря тому, что многие пифагорейцы вынуждены были зарабатывать себе на жизнь уроками, которые они давали гражданам. Письменных научных сочинений у пифагорейцев, по-видимому, не было, и мы догадываемся об их математических знаниях только по косвенным признакам, в передаче греческих ученых и историков последующих лет.
Рассмотрим открытия пифагорейцев в арифметике и теории чисел. Они впервые ввели четные и нечетные числа и изучили их свойства, ввели простые и составные числа. Они изучили треугольные числа – числа вида

квадратные числа -
,
пятиугольные числа – числа вида

Названия объясняются тем, что эти числа изображались геометрически с помощью вершин правильного треугольника, квадрата и правильного пятиугольника (рисунки 5-7).

Пифагорейцы ввели совершенные числа: это числа, равные сумме всех своих делителей (исключая делитель, равный самому числу); например,

Они изучали различные свойства дробей, но при этом считали дроби не числами, а чем-то вспомогательным. Отношения натуральных чисел приходилось рассматривать при измерении длин отрезков и при изучении подобия фигур.
Перейдем к геометрии. По-видимому, пифагорейцы впервые изложили в систематическом виде почти всю планиметрию. Они сформулировали некоторые аксиомы геометрии. Вершиной планиметрии считалась теорема Пифагора, которая впервые была доказана пифагорейцами. Что касается стереометрии, то здесь пифагорейцы сделали значительно меньше.
Два открытия школы Пифагора находятся на стыке геометрии и арифметики. Это, во-первых, формулы для длин сторон пифагоровых треугольников

где - нечетное число, большее 1. Они не охватывают всех случаев в отличие от формул, применявшихся в Вавилоне, так как пригодны лишь для таких прямоугольных треугольников, у которых длина гипотенузы больше длины одного из катетов на
Другое открытие – доказательство несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной с помощью предложения о том, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Доказательство последнего утверждения, вероятно, проводилось так же, как и в наши дни (см., например, учебник “Алгебра-8” под ред. С.А. Теляковского). Это открытие было большой неприятностью для пифагорейцев: ведь они считали, что все в мире можно выразить натуральным числом или отношением двух натуральных чисел, а тут оказалось, что длина диагонали единичного квадрата, которая по теореме Пифагора удовлетворяет условию
, не может быть выражена подобным образом.