Учебное пособие для педагогических университетов и педагогических институтов Челябинск 2003г

§ 7. Парадоксы Зенона

В V в. до .н. э. в греческой математике, находившейся еще в стадии становления, наступает кризис. Он был вызван, во – первых, открытием существования несоизмеримых отрезков, что не позволяло перенести теорию пропорций с чисел (рациональных) на отрезки, и, во-вторых, тем. что широкое применение в математике бесконечных множеств, движения и непрерывности без критического осмысления этих понятий все чаще приводило к противоречиям. Так, один из ученых V в. (Антифон) доказывал разрешимость задачи о квадратуре круга следующим образом. Круг есть многоугольник с бесконечным числом сторон. Но многоугольник можно преобразовать в равновеликий квадрат с помощью циркуля и линейки; следовательно, и круг можно преобразовать в равновеликий квадрат. В этом решении вызывает возражения то, что круг является многоугольником с бесконечным числом сторон, и то, что свойство конечных множеств автоматически переносится на бесконечные множества.

Вскрыть трудности, связанные с понятиями бесконечности и непрерывности, сумел Зенон Элейский (Vв. до. н. э.). Зенон был учеником Парменида, главы философской научной школы. Парменид первым стал строить философию на основе логических рассуждений, а древние считали его родоначальником логики. Он впервые сформулировал логические законы тождества и исключенного третьего.
Зенон придал своим рассуждениям форму апорий (парадоксов). Апорий было более 40, до наших дней сохранилось 9. Все они имеют названия. рассмотрим некоторые из них.

1. 
   «Дихотомия» (Деление пополам).
   

Пусть тело движется из пункта А в пункт В. Для того, чтобы дойти до В, оно должно сначала достичь середины отрезка АВ, затем середины остатка потом середины нового остатка и т. д. (рис 11). Следовательно, тело никогда не достигнет конца пути В.

A

B₁

B₂

B₃

B

Рис. 11

Для анализа этой апории положим тогда , и т.д. Долгое время считалось, что ее решением является тот факт, что по формуле суммы членов бесконечно убывающей геометрии

ческой прогрессии

Дело здесь глубже. Один из математических вопросов, связанных с этой апорией, состоит в следующем: допустимо ли рассматривать натуральный ряд чисел полностью от считанным и ввести некоторое новое “ число” следующее за всеми натуральными числами, которое соответствовало бы моменту достижения телом точки B ? Г. Кантор своей теорией множеств уже в XIX в. н. э. ответил на этот вопрос утвердительно. Однако с построением теории множеств затруднения, связанные с данной апорией и другими похожими ситуациями, вовсе не были преодолены; они просто приняли иную форму – парадоксов теории множеств.

2.« Ахиллес и черепаха».
Быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху, если в начальный момент черепаха находилась впереди него. Действительно, пусть начальное расстояние между ними равно 𝒶 и Ахиллес бежит быстрее черепахи в k раз . Пока Ахиллес пробежит разделяющее их расстояние 𝒶, черепаха за то же время уйдет вперед на расстояние ; пока Ахиллес пробежит этот последний путь , черепаха опять уйдет вперед на расстояние и т.д..
Здесь возникает та же проблема отсчитанной бесконечности. Но есть и еще одна. Запишем путь Ахиллеса

и путь черепахи

Каждому отрезку пути пройденному черепахой, соответствует такой же по длине отрезок пути, пройденный Ахиллесом, но, кроме того, Ахиллес должен пробежать еще один отрезок длины 𝒶. Следовательно, если обозначить “ количество” отрезков пути, пройденных черепахой, через 𝒶, то “ количество” отрезков Ахиллеса равно 𝒶+1. Но, с другой стороны, эти количества должны быть одинаковы в силу взаимно однозначного соответствия . Получаем:
В современной теории множеств этот парадокс разрешается с помощью теоремы: у любого бесконечного множества имеется правильная часть, эквивалентная самому множеству.

2.«Стрела».

В каждый момент времени летящая стрела находится в определенном месте пространства и, следовательно, находится в покое. Но если стрела в каждый момент находится в покое, то она вообще находится в покое, т. е. неподвижна. В таком решении предполагается. что время и пространство состоят из неделимых частиц.
Эта апория, как и некоторые другие, направлена против представления о непрерывной величине как о сумме бесконечного множества неделимых элементов. Какой смысл имеет, скажем, ходячая фраза: “ Прямая состоит из точек?” Ведь для любых двух различных точек прямой существует точка, заключенная между ними, например, середина отрезка между этими точками; следовательно, для любой точки прямой нельзя указать точку, непосредственно следующую за нею.
Апории Зенона в то время вызывали большие споры среди греческих ученых. Они заставили математиков усилить внимание к строгости своих рассуждений там, где дело касалось бесконечных множеств, непрерывности и движения. До наших дней нередко появляется литература, посвященная анализу этих апорий; почти все крупные философы обращались к ним. Вопрос о смысле ряда апорий до сих пор остается нерешенным. Они поднимают серьезные вопросы, не только математические, но и философские, и физические, например, такой: допустимо ли физическое расстояние, хотя бы в математических рассуждениях, мысленно делить на части как угодно малой длины? Ведь элементарные физические частицы имеют хотя и очень малые, но конечные размеры. Это вопрос о соотношении реального физического пространства и его математической модели в такой своеобразной ситуации.