Учебное пособие Пермь ипц «Прокростъ» 2017 удк

Жесткость и мягкость модели. Примером жесткой 
модели является таблица умножения. Простейший пример 
мягкой модели – принцип "чем дальше в лес, тем больше 
дров". Возможность полезной математической теории мягких 
моделей открыта относительно недавно (Арнольд).

---

48 
Гармонический осциллятор – пример так называемой 
«жѐсткой» модели. Она получена в результате сильной идеа-
лизации реальной физической системы. Для решения вопроса 
о еѐ применимости необходимо понять, насколько суще-
ственными являются факторы, которыми мы пренебрегли. 
Иными словами, нужно исследовать «мягкую» модель, полу-
чающуюся малым возмущением «жѐсткой». Если система со-
храняет свое качественное поведение при малом возмуще-
нии, говорят, что она структурно устойчива. Гармонический 
осциллятор – пример структурно-неустойчивой (негрубой) 
системы. Тем не менее, эту модель можно применять для 
изучения процессов на ограниченных промежутках времени.
Конечность моделей. Известно, что мир бесконечен, 
как любой объект, не только в пространстве и во времени, но 
и в своей структуре (строении), свойствах, отношениях с дру-
гими объектами. Бесконечность проявляется в иерархическом 
строении систем различной физической природы. Однако 
при изучении объекта исследователь ограничивается конеч-
ным количеством его свойств, связей, используемых ресур-
сов и т.д. Он как бы «вырезает» из бесконечного мира неко-
торый конечный фрагмент в виде конкретного объекта, си-
стемы, процесса и т.д. и пытается познать бесконечный мир 
через конечную модель этого фрагмента.
Правомерен ли такой подход к исследованию бесконеч-
ного мира? Практика отвечает положительно на этот вопрос, 
основываясь на свойствах человеческого разума и законах 
Природы, хотя сам разум конечен, но зато бесконечны генери-
руемые им способы познания мира. Процесс познания идет 
через непрерывное расширение наших знаний. Это можно 
наблюдать на эволюции разума, на эволюции науки и техники.
Таким образом, конечность моделей систем заключает-
ся, во-первых, в том, что они отображают оригинал в конеч-

---

49 
ном числе отношений, т.е. с конечным числом связей с дру-
гими объектами, с конечной структурой и конечным количе-
ством свойств на данном уровне изучения, исследования, 
описания, располагаемых ресурсов. Во-вторых, в том, что ре-
сурсы (информационные, финансовые, энергетические, вре-
менные, технические и т.д.) моделирования и наши знания 
как интеллектуальные ресурсы конечны, а потому объектив-
но ограничивают возможности моделирования и сам процесс 
познания мира через модели. Поэтому исследователь (за ред-
ким исключением) имеет дело с конечномерными моделями.
Выбор размерности модели (ее степени свободы, пере-
менных состояния) тесно связан с классом решаемых задач. 
Увеличение размерности модели связано с проблемами 
сложности и адекватности. При этом необходимо знать, ка-
кова функциональная зависимость между степенью сложно-
сти и размерностью модели. Если эта зависимость степенная, 
то проблема может быть решена за счет применения вычис-
лительных систем. Если же эта зависимость экспоненциаль-
ная, то «проклятие размерности» (Р. Калман) неизбежно и 
избавиться от него практически не удается.
Как отмечалось выше, увеличение размерности модели 
приводит к повышению степени адекватности и одновремен-
но к усложнению модели. При этом степень сложности огра-
ничена возможностью оперирования с моделью, т.е. теми 
средствами моделирования, которыми располагает исследо-
ватель. Необходимость перехода от грубой простой модели к 
более точной реализуется за счет увеличения размерности 
модели путем привлечения новых переменных, качественно 
отличающихся от основных и которыми пренебрегли при по-
строении грубой модели. Эти переменные могут быть отне-
сены к одному из следующих трех классов:

---

50 
1) быстропротекающие переменные, протяженность 
которых во времени или в пространстве столь мала, что при 
грубом рассмотрении они принимались во внимание своими 
интегральными или осредненными характеристиками;
2) медленнопротекающие переменные, протяженность 
изменения которых столь велика, что в грубых моделях они 
считались постоянными;
3) малые переменные (малые параметры), значения и 
влияния которых на основные характеристики системы столь 
малы, что в грубых моделях они игнорировались.
Отметим, что разделение сложного движения системы 
по скорости на быстропротекающее и медленнопротекающее 
движения дает возможность изучать их в грубом приближе-
нии независимо друг от друга, что упрощает решение ис-
ходной задачи. Что касается малых переменных, то ими 
пренебрегают обычно при решении задачи синтеза, но ста-
раются учесть их влияние на свойства системы при реше-
нии задачи анализа.
При моделировании стремятся по возможности выде-
лить небольшое число основных факторов, влияние которых 
одного порядка и не слишком сложно описывается матема-
тически, а влияние других факторов оказывается возможным 
учесть с помощью осредненных, интегральных или "заморо-
женных" характеристик.