Учебное пособие Пермь ипц «Прокростъ» 2017 удк

 
8.1. Размерные и безразмерные величины 
Пусть требуется измерить какую-либо величину Q. Это 
значит, что необходимо ее сравнить с другой величиной q та-
кой же физической природы, т.е. определить во сколько раз 
Q отличается от q. Для единообразия устанавливают опреде-
ленное значение q и называют ее единицей измерения. Единицы 
измерения различных физических величин, объединенные на 
основе их непротиворечивости друг другу, образуют систему 
единиц. 
Величины, численное значение которых зависит от систе-
мы единиц измерения, называются размерными или имено-

---

168 
ванными величинами. Величины, численное значение кото-
рых не зависит от применяемой системы единиц измерения, 
называются безразмерными или отвлеченными величинами. 
Длина, время, энергия могут служить примерами размерных 
величин. Углы, отношение двух длин - примеры безразмер-
ных величин. 
Однако подразделение величин на размерные и безраз-
мерные является до некоторой степени делом условности. 
Так, например, угол мы только что назвали безразмерной ве-
личиной. Но известно, что углы можно измерять в радианах, в 
градусах, в долях прямого угла, т.е. в различных единицах. 
Следовательно, число, определяющее угол, зависит от выбора 
единицы измерения. Поэтому угол можно рассматривать и как 
величину размерную. Определим угол как отношение длины 
стягивающей его дуги окружности к радиусу; этим самым бу-
дет определена однозначно единица измерения угла – радиан. 
Если теперь во всех системах единиц измерения измерять уг-
лы только в радианах, то угол можно будет рассматривать как 
безразмерную величину. Точно так же, если для длины ввести 
единую фиксированную единицу измерения во всех системах 
единиц измерения, то после этого длину можно будет считать 
безразмерной величиной. Но фиксирование единицы измере-
ния для углов удобно, а для длины неудобно. Это объясняется 
тем, что для геометрически подобных фигур соответствующие 
углы одинаковы, а соответствующие длины неодинаковы, и 
поэтому в различных вопросах выгодно выбирать за основную 
длину различные расстояния. 
Размерные физические величины связаны между собой 
определенными соотношениями. Поэтому, если некоторые из 
этих величин принять за основные и установить для них ка-
кие-то единицы измерения, то единицы измерения всех 

---

169 
остальных величин будут определенным образом выражаться 
через единицы измерения основных величин. Принятые для 
основных величин единицы измерения называются основны-
ми или первичными, а все остальные – производными или 
вторичными. 
В настоящее время наиболее распространенной и име-
ющей предпочтительное применение является Международ-
ная система единиц СИ. В системе СИ произвольно, т.е. 
независимо одна от другой, выбраны единицы измерения так 
называемые первичные величины -масса, длина, время, тем-
пература, сила тока, сила света, количество вещества. Они 
получили название основных единиц. Единицы измерения 
других физических величин, например, сила, скорость, энер-
гия и др., получаются из основных единиц в результате того 
или иного действия над ними.
Выражение производной единицы измерения через ос-
новные единицы измерения называется размерностью. 
Например, сила определяется исходя из уравнения: 
F = M a = M L / Т
2
= MLT
-2 
Размерность записывается символически в виде форму-
лы, в которой символ единицы измерения обозначается бук-
вой в квадратных скобках: 
F = [M] [L] [T]
-2
, 
где [М], [L], [T] – соответственно размерности массы, длины 
и времени. 
В тоже время размерность любой физической величины 
представляет собой произведение возведенных в степень 
размерностей первичных величин: 
[Q] = [M]
μ
[L]
λ
[T]
τ
. 
Таблицу основных параметров, определяющих явление, 
всегда легко составить, если задача сформулирована матема-

---

170 
тически. Для этого следует отметить все размерные и безраз-
мерные величины, которые необходимо и достаточно задать, 
чтобы численные значения всех искомых величин определя-
лись уравнениями задачи. В ряде случаев таблицу определя-
ющих параметров можно составить, не выписывая уравнение 
задачи. Можно просто установить факторы, необходимые для 
полного определения искомой величины, численное значение 
которой иногда можно находить только экспериментально. 
Среди определяющих параметров должны быть величины с 
размерностями, через которые могут быть выражены размер-
ности всех зависимых параметров. 
При решении какой-либо задачи очень редко применя-
ются все основные единицы измерения. Например, для меха-
нической системы используются такие величины, как метр, 
килограмм, секунда, в то время как в электрической системе, 
в которой отсутствует механическое перемещение тел, при-
меняются размерности силы тока, длины, времени (ампер, 
метр, секунда). 
Ускорение обычно рассматривается как размерная ве-
личина, размерность которой есть длина, деленная на квадрат 
времени. Во многих вопросах ускорение силы тяжести g, 
равное ускорению при падении тел в пустоте, можно считать 
постоянной величиной (9,81 м/сек
2
). Это постоянное ускоре-
ние g можно выбрать в качестве фиксированной единицы из-
мерения для ускорений во всех системах единиц. Тогда лю-
бое ускорение будет измеряться отношением его величины к 
величине ускорения силы тяжести. Это отношение называет-
ся перегрузкой, численное значение которой не будет ме-
няться при переходе от одних единиц измерения к другим. 
Следовательно, перегрузка является величиной безразмер-
ной. Но в тоже время перегрузку можно рассматривать и как 

---

171 
размерную величину, именно как ускорение, когда за едини-
цу измерения принято ускорение, равное ускорению силы 
тяжести. В этом последнем случаем мы предполагаем, что за 
единицу измерения перегрузки - ускорения – можно взять и 
такое ускорение, которое не равно ускорению силы тяжести. 
С другой стороны, величины отвлеченные (безразмер-
ные) в общепринятом смысле этого слова можно выражать с 
помощью различных чисел. В самом деле, отношение двух 
длин можно выразить только в виде обычного арифметическо-
го частного, но и в процентах, а также другими способами. 
Таким образом, понятия размерных и безразмерных ве-
личин являются относительными понятиями. Мы вводим не-
который запас единиц измерения. Тогда величины, для кото-
рых единицы измерения одинаковы во всех принятых систе-
мах единиц измерения, мы будем называть безразмерными. 
Величины же, для которых в опытах или в теоретических ис-
следованиях фактически или потенциально (явно или неявно) 
допускаются различные единицы измерения, мы будем назы-
вать размерными. Из этого определения вытекает, что неко-
торые величины можно рассматривать в одних случаях как 
размерные, а в других – как безразмерные. Выше мы указали 
подобные примеры, в дальнейшем мы встретимся с рядом 
других таких примеров.