Учебное пособие Пермь ипц «Прокростъ» 2017 удк

 
1.8. Этапы построения и применения математиче-
ских моделей 
Построение математической модели – это центральный 
этап исследования или проектирования технической систе-
мы. От качества разработанной модели зависит весь после-
дующий анализ объекта. Построение математической моде-
ли – это процедура не формальная. Она существенно зависит 
от исследователя, его опыта и вкуса, и всегда опирается на 
определенный эмпирический материал. 

---

55 
В общем случае процесс разработки математических 
моделей состоит из следующих этапов: 
1) Обследование объекта моделирования и формулиров-
ка технического задания на разработку модели (содержа-
тельная постановка задачи)
Этап обследования включает следующие работы: 
- выявление основных факторов, механизмов, влияю-
щих на поведение объекта моделирования, определение па-
раметров, подлежащих отражению в модели; 
- сбор и проверка имеющихся экспериментальных дан-
ных об объектах-аналогах, проведение при необходимости 
дополнительных экспериментов; 
- обзор литературных источников, анализ и сравнение 
между собой построенных ранее моделей данного объекта 
(или подобных рассматриваемому объекту); 
- анализ и обобщение всего накопленного материала, 
разработка общего плана создания математической модели. 
Содержательная постановка задачи моделирования мо-
жет уточняться и конкретизироваться в процессе дальнейшей 
разработки модели. Если объектом моделирования является 
технологический процесс, машина, конструкция или деталь, 
то содержательную постановку задачи моделирования назы-
вают технической постановкой задачи. Вместе с дополни-
тельными требованиями к реализации модели и представле-
нию результатов содержательная постановка задачи модели-
рования оформляется в виде технического задания на проек-
тирование и разработку модели. 
2) Концептуальная и математическая постановка
задачи 
На данном этапе формулируется совокупность гипотез о 
поведении объекта, его взаимодействии с окружающей сре-

---

56 
дой, изменении внутренних параметров. Для обоснования 
принятых гипотез, как правило, используются некоторые 
теоретические положения и/или экспериментальные данные 
об объекте. Законченная концептуальная постановка позво-
ляет сформулировать расчетную схему технического объек-
та и ее математическое описание. 
Совокупность математических соотношений определяет 
вид оператора модели. Наиболее простые операторы модели 
получают, используя различные методы аппроксимации экс-
периментальных данных (интерполяция, метод наименьших 
квадратов и др.). Более сложные теоретические модели полу-
чают на основе каких-либо законов, справедливых для объек-
тов исследования в рассматриваемой области знаний, напри-
мер, на основе уравнений законов сохранения. В ряде случаев 
математические соотношения, описывающие поведения объ-
екта, приходится устанавливать самому исследователю. 
 3) Качественный анализ и проверка корректности
модели
В большинстве случаев оператор модели включает в се-
бя систему обыкновенных дифференциальных уравнений 
(ОДУ), дифференциальных уравнений в частных производ-
ных (ДУЧП) и/или интегро-дифференциальных уравнений 
(ИДУ). Для обеспечения корректности постановки задачи к 
системе ОДУ или ДУЧП добавляются начальные или гра-
ничные условия, которые, в свою очередь, могут быть алгеб-
раическими или дифференциальными соотношениями раз-
личного порядка. Можно выделить несколько наиболее рас-
пространенных типов задач для систем ОДУ или ДУЧП:
- задача Коши, или задача с начальными условиями, в 
которой по заданным в начальный момент времени перемен-
ным (начальным условиям) определяются значения этих ис-
комых переменных для любого момента времени; 

---

57 
- начально-граничная, или краевая, задача, когда усло-
вия на искомую функцию выходного параметра задаются в 
начальный момент времени для всей пространственной обла-
сти и на границе последней в каждый момент времени (на ис-
следуемом интервале); 
- задачи на собственные значения, в формулировку ко-
торых входят параметры, определяемые из условия каче-
ственного изменения поведения системы (например, потеря 
устойчивости состояния равновесия или стационарного дви-
жения, появление периодического режима, резонанс). 
Для контроля правильности полученной системы мате-
матических соотношений проводят ряд проверок, в частно-
сти: 
- контроль размерностей величин при использовании 
принятой системы единиц для значений всех параметров; 
- контроль порядков, состоящий из грубой оценки срав-
нительных порядков складываемых величин и исключения 
малозначимых параметров (например, если при сложении 
трех величин одна из них много меньше других, то такой ве-
личиной можно пренебречь); 
- контроль характера зависимостей, который заключает-
ся в проверке того, что значения выходных параметров моде-
ли соответствуют, например, физическому или иному смыслу 
изучаемой модели; 
- контроль экстремальных ситуаций – проверка того, ка-
кой вид принимают математические соотношения, а также 
результаты моделирования, если параметры модели или их 
комбинации приближаются к своим предельно допустимым 
значениям; 
- контроль граничных условий, включающий проверку 
того, что граничные условия действительно наложены, что 

---

58 
они использованы в процессе построения искомого решения 
и что значения выходных параметров модели на самом деле 
удовлетворяют данным условиям; 
- контроль математической замкнутости, состоящий в 
проверке того, что выписанная система математических со-
отношений дает возможность получить однозначное решение 
задачи. 
Математическая задача является корректно поставлен-