Учебное пособие Воронеж 2005 А. С. Кольцов Е. Д. Федорков Геометрическое моделирование в сапр

Теорема. Пусть точка (рис. 3) лежит внутри базисного треугольника и пусть - площади треугольников , , , . Тогда барицентрические координаты точки равны

.

( 3 )

Для вычисления площадей этих треугольников воспользуемся векторным представлением их вершин. Выберем точку за начало радиус-векторов и обозначим радиус-векторы точек через . Тогда
,
или
,
где знак обозначает внешнее произведение векторов.
Внешнее произведение двух векторов и выражается формулой
,
следовательно,
,
или

.

( 4 )

Вычисление барицентрических координат точки можно свести к вычислению площадей треугольников и в том случае, если точка лежит вне координатного треугольника или на его границе. Для этого необходимо ввести понятие ориентированного треугольника, когда кроме задания его вершин также задается направление их обхода. Если обход производится "против часовой стрелки", то треугольник ориентирован положительно, если "по часовой стрелке" - отрицательно. В соответствии с этим определяется ориентированная площадь треугольника, которая будет при этом положительной или отрицательной, а также нулевой, если базисные точки коллинеарные. Именно поэтому в правой части уравнения ( 4 ) необходимо поставить знак .
Для корректности уравнений ( 3 ) необходимо, чтобы площадь , т.е. точки должны быть неколлинеарными.
Барицентрические координаты на плоскости, как и на прямой, обладают свойством аффинной инвариантности.
Таким образом, любые три неколлинеарные точки определяют на плоскости барицентрическую систему координат.

Рис. 13.3. Определение барицентрических координат через площади треугольников
Мы используем барицентрические координаты для определения линейной интерполяции трех неколлинеарных точек. Предположим, что в пространстве заданы три точки . Любая точка, координаты которой вычислены с помощью уравнения

, ,

(5)

лежит в плоскости, определяемой этими точками. Это отображение пространства на пространство будет линейной интерполяцией трех точек. Так как , то можно считать барицентрическими координатами точки относительно заданных точек . Также можно считать барицентрическими координатами точки, принадлежащей , относительно некоторого треугольника . Следовательно, уравнение ( 5 ) можно интерпретировать как отображение треугольника на треугольник .
13.1.3. БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

Метод барицентрических координат можно обобщить и на пространства высших размерностей. Например, в трехмерном пространстве барицентрические координаты точки относительно базового тетраэдра можно выразить через объемы соответствующих тетраэдров , , , , с помощью уравнений:

.

( 6 )

Уравнения ( 6 ) справедливы, если точка лежит внутри тетраэдра . Если же точка является произвольной точкой пространства, то уравнения ( 6 ) останутся справедливыми, если под понимать ориентированные объемы соответствующих тетраэдров.