Учебное пособие Воронеж 2005 А. С. Кольцов Е. Д. Федорков Геометрическое моделирование в сапр

14.1.3. АППРОКСИМАЦИЯ ОБВОДОВ ПАРАМЕТРИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ БЕРНШТЕЙНА
Итак, другой распространенной формой представления полиномов является представление в форме Бернштейна. Кроме аспектов, связанных с вычислительной устойчивостью алгоритмов с участием полиномов в форме Бернштейна, этот вид представления полиномов имеет несомненные преимущества чисто с геометрической точки зрения. Рассмотрим "геометрические" свойства полиномов Бернштейна более подробно.
Произвольный полином степени в форме Бернштейна определяется уравнением

.

(11)

где - коэффициенты Бернштейна,
- скалярные функции Бернштейна.
Коэффициенты могут быть скалярными значениями некоторой функции , вычисленными на некотором отрезке для равноотстоящих точек. Тогда полином аппроксимирует функцию при достаточно больших .
Если заменить скалярные коэффициенты произвольными векторами , то в этом случае полином аппроксимирует ломаную, вершинами которой является заданный набор векторов , и определяет на заданном отрезке дугу кривой Безье -го порядка. Изменяя положение векторов, можно управлять формой дуги кривой.
Скалярные функции определяются уравнениями

и образуют так называемый базис Бернштейна для множества всех полиномов степени не выше на отрезке . Например, для случая изображены функции базиса Бернштейна (см. рис. 14.1).

Рис. 14.1. Полиномы Бернштейна степени 7
В ряде случаев вместо единичного отрезка изменения параметра целесообразно использовать отрезок . Тогда значения локального параметра на этом общем отрезке можно вычислить по формуле:
.
На отрезке базисные функции Бернштейна определяются уравнениями

(12)

Отметим следующие основные свойства полиномов Бернштейна:

1. 
   Сумма полиномов, определенных на заданном отрезке, равна единице:
   

, .
Это свойство обеспечивает инвариантность полиномов при аффинных преобразованиях. Следовательно, аффинно-инвариантны и кривые Безье, определяемые этим набором полиномов. Заметим, что этим свойством обладают также полиномы в форме Лагранжа ( 8 ) и Эрмита ( 9 ), но не обладают стандартные полиномы ( 1 ).

2. 
   Все полиномы не отрицательны на заданном отрезке
   

, .
В работе [3] указано, что значения полинома находятся в интервале
.
Это означает, что кривая, определяемая полиномом , лежит внутри выпуклой оболочки коэффициентов . Часто это свойство называют "свойством выпуклости оболочки". Заметим, что на плоскости выпуклая оболочка представляет собой область, ограниченную выпуклой ломаной, а в пространстве – выпуклым многогранником.

3. 
   Возможно рекурсивное вычисление полиномов степени , если известны полиномы степени :
   

Это свойство используется для вычисления с помощью повторяющейся линейной интерполяции.

4. 
   Если - полиномы Бернштейна степени , то полиномы степени вычисляются с помощью выражения:
   

,
где для . 
,  .
Это свойство используется при аппроксимации кривой Безье -го порядка другой кривой порядка .

5. 
   В работе [2] доказано, что полиномы Бернштейна лучше приспособлены для вычисления простых корней, чем степенные полиномы, как на единичном отрезке , так и на отрезке . Полиномы в форме Бернштейна обладают большей вычислительной устойчивостью, чем степенные полиномы. Это связано с тем, что при вычислении степенных полиномов по схеме Горнера может происходить значительная потеря точности за счет вычитания близких больших по модулю округленных чисел. При этом потеря точности увеличивается с возрастанием из-за ограниченного числа цифровых разрядов компьютера. Избежать потери точности в этом случае удается, применяя для вычисления полинома рекуррентные формулы. Один из методов измерения вычислительной устойчивости алгоритмов заключается в сравнении оценок погрешностей значения полинома в различных формах представления в окрестности произвольной точки [7]. В работе [5] выполнено исследование вычислительных аспектов алгоритмов полиномиальной аппроксимации и доказано, что полиномы в форме Бернштейна имеют меньшую оценку погрешности, чем степенные полиномы в стандартной форме. Однако при выполнении преобразования из одной формы представления полинома в другую указанное свойство может теряться из-за появления вычислительной неустойчивости.
   
6. 
   Полиномы Бернштейна имеют максимум при значении параметра . Это свойство используется при локальном контроле формы обвода. Перемещение управляющей точки кривой Безье в большей мере затрагивает участок кривой в окрестности точки со значением параметра .
   
7. 
   Полиномы Бернштейна могут быть вычислены по схеме Горнера с помощью следующих формул: на отрезке ;
   на отрезке .