Umumlashgan funksiyalarning o‘ramasi (yig‘masi) va uning xossalari

Ta’rif. Agar

1. 
   Ixtiyoriy K kompakt to’plam uchun shunday bir nomer
   

topilib ixtiyoriy va ixtiyoriy uchun bo’lsin:

2. 
   funksiyalar ketma-ketligi fazoda o’zining barcha hosilalari bilan birgalikda tekis chegaralangan bo’lsin, ya’ni ixtiyoriy multiindeks uchun shunda bir musbat son topilib barcha uchun tengsizlik o’rinli bo’lsin. U holda fazodan olingan asosiy funksiyalar ketma-ketligi fazoda 1 ga yaqinlashadi deb aytiladi.
   

bo’lgan holda funksiyalar ketma-ketligining grafigi
shaklida tasvirlanadi.
Shuni ta’kidlash kerakki, bunday shartlarni qanoatlantiruvchi ketma-ketlik har doim mavjud. Masalan funksiyalar ketma-ketligi bunga misol bo’ladi, bunda va sharda deb olingan.
Endi tenglikni ixtiyoriy asosiy funksiya uchun

ko’rinishda yozish mumkinligini isbotlaymiz. Bunda ketma-ketlik fazoda 1 ga intiluvchi ixtiyoriy ketma-ketlik bo’ladi.
Haqiqatan ham funksiya fazoda jamlanuvchi funksiya bo’ladi va fazoning deyarli hamma joyida intilganda funksiyaga yaqinlashuvchi bo’lgan funksiyalar ketma-ketligini majorandalaydi, ya’ni shunday bir son mavjud bo’lib ixtiyoriy uchun

baholash o’rinli bo’ladi. Bu yerda Lebeg teoremasini qo’llab biz

tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglik tenglikka ko’ra tenglikka ekvivalent bo’ladi.
Biz va tengliklarga asoslangan holda umumlashgan funksiyalarning o’ramasiga quyidagicha ta’rif beramiz.
va umumlashgan funksiyalar bo’lib, ularning to’g’ri ko’paytmasi ixtiyoriy asosiy funksiyaga mos ko’rinishdagi funksiya uchun aniqlangan funksiyonal quyidagi ma’noda davom ettirilishi mumkin bo’lsin:
faozda 1 ga yaqinlashuvchi bo’lgan ixtiyoriy ketmaketlik uchun

sonli ketma-ketlik limiti mavjud bu limit ketma-ketlikka bog’liqmas bo’lsin. Shuni alohida ta’kidlash kerakki, ixtiyoriy k uchun bo’lib bu sonli ketma-ketlik aniqlangan bo’ladi.
Ta’rif. Ixtiyoriy va umumlashgan
funksiyalar va ixtiyoriy asosiy funksiya uchun

limit mavjud bo’lgan holda bu tenglik bilan aniqlangan funksionalga va umumlashgan funksiyalarning o’ramasi deb aytiladi va kabi belgilanadi.
Bu tenglik bilan aniqlangan o’rama ham fazoga tegishli ekanligini, ya’ni umumlashgan funksiya bo’lishligini isbot qilamiz. Buning uchun fazoning to’laligi haqidagi teoremaga ko’ra

chiziqli funksionallarning fazoda uzluksizliligini ko’rsatish yetarli bo’ladi. intilganda fazoda yaqinlashuvchi bo’lsin. U holda bo’lgani uchun intilganda fazoda

bo’ladi. Bundan fazoda funksionalning uzluksizligidan foydalanib, intilganda

ekanligini hosil qilamiz va bu esa ko’rinishidagi funksionallarning fazoda uzluksizligini isbotlaydi.
Shuni ta’kidlash kerakki, funksiya fazoga tegishli emas
(bu funksiya R²ⁿ fazoda finit funksiya emas). Bu esa tenglikning o’ng qismidagi limitning ixtiyoriy va umumlashgan funksiyalar jufti uchun hamma vaqt ham mavjud bo’lmavermasligini bildiradi. Shuning uchun ham o’rama har doim ham mavjud bo’lavermaydi.
Ixtiyoriy sondagi umumlashgan funksiyalarning o’ramasi ham xuddi shunga o’xshash aniqlanadi. Masalan, ixtiyoriy , va umumlashgan funksiyalar va fazoda 1 ga yaqinlashuvchi bo’lgan ixtiyoriy ketma-ketlik bo’lsin. U holda ixtiyoriy asosiy funksiya uchun

limit mavjud bo’lgan holda bu tenglik bilan aniqlangan funksional , va umumlashgan funksiyalarning o’ramasi deb
ataladi va kabi belgilanadi.