Umumlashgan funksiyalarning o‘ramasi (yig‘masi) va uning xossalari

1-teorema. Agar va ixtiyoriy musbat son uchun T_R to’plam R²ⁿ fazoda chegaralangan bo’lsa, u holda o’rama umumlashgan funksiyalar fazosida mavjud va ixtiyoriy asosiy funksiya uchun

shaklida tasvirlanadi, bunda va funksiyalar sinfdan olingan bo’lib mos ravishda va to’plamlarda 1 ga teng, hamda va to’plamlar tashqarisida 0 ga teng bo’lgan funksiyalardir ( bo’lgan ixtiyoriy
son). Shu bilan birga amali fazoni fazoga uzluksiz akslantiradi.
Isbot. Ixtiyoriy va funksiyalar ketmaketligi fazodan olingan ixtiyoriy ketma-ketlik bo’lib R²ⁿ fazoda 1 ga intilsin. Shuningdek munosabatdan foydalanib

ekanligini hosil qilamiz. Shu bilan birga T_R to’plam R²ⁿ fazoda chegaralangan bo’lganligi uchun shunday bir nomer topilib barcha uchun T_R to’plamning atrofida bo’ladi. Shuning uchun

va ixtiyoriy asosiy funksiya uchun

shaklidagi tasvir isbot bo’ladi.Ko’rinib turibdiki, bu tasvir yordamchi funksiyaga bog’liq emas. Uni funksiya bilan ham almashtirish mumkin. Haqiqatan ham asosiy funksiya bo’lib ixtiyoriy va sonlar uchun

to’plam R²ⁿ fazoda chegaralangan bo’ladi.Hamda ixtiyoriy asosiy funksiya uchun

funksiya T_R to’plamning atrofida nolga aylanadi. Shu bilan shakldagi tasvir isbot bo’ladi. formuladan

munosabat kelib chiqadi.Shu bilan birga amali fazoni fazoga akslantiradi. Uning uzluksizligi to’g’ri ko’paytmaning
f umumlashgan funksiyaga nisbatan uzluksizligidan va shaklidagi
tasvirdan quyidagicha kelib chiqadi:
agar intilganda fazoda yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda ixtiyoriy uchun

yaqinlashuvchi bo’ladi, ya’ni intilganda fazoda yaqinlashuvchi bo’ladi. 1-teorema isbot bo’ldi.
Shuni ta’kidlash kerakki, o’rama amali va umumlashgan funksiyaga nisbatan birgalikda uzluksizligi o’rinli emas. Buni esa quyidagi soda misol tasdiqlaydi:
intilganda yaqinlashuvchi bo’ladi. Biroq ekanligini hosil qilamiz.
Bu 1-teoremaning muhim bo’lgan quyidagi xususiy holini keltiramiz.
Agar va bo’lsa, u holda o’rama umumlashgan funksiyalar fazosida mavjud va ixtiyoriy asosiy funksiya uchun

shaklida tasvirlanadi, bunda funksiya ixtiyoriy asosiy funksiya bo’lib funksiya tashuvchi atrofida 1 ga teng deb olingan bo’ladi.
Haqiqatan ham, bu holda ixtiyoriy musbat son uchun T_R to’plamning R²ⁿ fazoda chegaralangan bo’lishlik sharti bajariladi: agar bo’lsa, u holda

shaklida bo’ladi. Bu to’plam grafigi
shaklida tasvirlanadi.
Huddi shunga o’xshash, agar va bo’lsa, u holda o’rama ham umumlashgan funksiyalar fazosida mavjud, hamda assotsiativ va kommutativ bo’lib ixtiyoriy asosiy funksiya uchun

formula o’rinli bo’ladi.
Agar va bo’lsa, u holda o’rama ham sinfdan bo’ladi va formula

shaklga ega. Bu yerda funksional funksionalning fazoga davomidan iborat bo’ladi.
Haqiqatdan ham, avvalgi paragrafdagi lemmaning isbotiga o’xshash

ekanligini ko’rsatishimiz mumkin. Hamda formuladan ixtiyoriy asosiy funksiya uchun

formulaga ega bo’lamiz. Endi biz ekanligidan, hamda ixtiyoriy va ixtiyoriy asosiy funksiya uchun o’rinli bo’lgan

formuladan foydalanib

tenglikni hosil qilamiz. Bundan esa formula kelib chiqadi.
Huddi shunga o’xshash, agar va bo’lsa, u holda o’rama ham to’plamda formula orqali ifodalanadi. Xususan, bo’ladi.