Umumlashgan funksiyalarning o‘ramasi (yig‘masi) va uning xossalari

Eslatma. formulaning ma’nosi shunday iboratki, ixtiyoriy olingan umumlashgan funksiyani funksiya bo’yicha yoyish mumkin bo’ladi va yoyilma formal ravishda

ko’rinishda yoziladi. Aynan ushbu formula ixtiyoriy jismning massasi nuqtaviy massalardan tuzilganligini, har qanday manba nuqtaviy manbalardan tuzilganligini bildiradi.
g) O’ramani siljitish. Agar o’rama mavjud bo’lsa, u holda ixtiyoriy uchun o’rama ham mavjud bo’ladi, bundan tashqari

tenglik o’rinli, ya’ni siljitish va o’rama amallari kommutativdir. Boshqacha so’z bilan aytganda o’rama operatori translyatsion-invariant operatordir.
Haqiqatdan ham, funksiyalar ketma-ketligi fazoga tegishli bo’lib intilganda R²ⁿ fazoda 1 ga intilsin. U holda ixtiyoriy uchun ketma-ketlik intilganda R²ⁿ fazoda 1 ga intiladi. Endi siljitishning va o’ramaning ta’rifidan foydalanib ixtiyoriy asosiy funksiya uchun

tenglik o’rinli ekanligini hosil qilamiz. Bu esa xossasini isbot qiladi. Bunda biz to’g’ri ko’paytmani siljitish haqidagi formuladan foydalandik.
d) O’ramaning aksi. Agar o’rama mavjud bo’lsa, u holda o’rama ham mavjud bo’ladi, bundan tashqari

tenglik o’rinlidir.
Haqiqatdan ham, ixtiyoriy asosiy funksiya va R²ⁿ fazoda 1 ga intiluvchi fazodan olingan ixtiyoriy funksiyalar ketma-ketligi uchun intilganda fazoda har bir tayinlangan x yoki y uchun ga intiladi va shuning uchun

tenglik hosil bo’ladi. Bu esa xossasini isbot qiladi.
e) O’ramani differentsiallash. Agar o’rama mavjud bo’lsa, u holda va o’ramalar ham mavjud bo’lib,

tengliklar o’rinli bo’ladi.
Bu tasdiqni har bir birinchi tartibli hosilalar uchun isbotlash yetarlidir. Ixtiyoriy asosiy funksiya bo’lsin, hamda funksiyalar ketma-ketligi fazodan olingan ixtiyoriy ketmaketlik bo’lib R²ⁿ fazoda 1 ga intilsin. U holda funksiyalar ketma-ketligi ham fazoga tegishli bo’lib, R²ⁿ fazoda 1 ga intiladi. Bundan o’ramaning mavjudligidan foydalanib

tengliklarni hosil qilamiz. Bundan esa operator uchun tengliklarning birinchisi kelib chiqadi. tengliklarning ikkinchisi esa bu birinchi tenglikdan va o’ramaning kommutativligidan kelib chiqadi. Shunga ko’ra

tengliklar hosil bo’ladi.
Bu hosil qilingan va tenlgiklardan ixtiyoriy uchun

tengliklar kelib chiqadi.
Shuni ta’kidlash kerakki, bo’lgan multiindeks uchun va o’ramalarning mavjud bo’lishi hali o’ramananing mavjud bo’lishi uchun va tenglikning o’rinli bo’lishi uchun yetarli emas. Masalan bo’lib, lekin bo’ladi.
j) Agar o’rama mavjud bo’lsa, u holda

munosabat o’rinli bo’ladi.
Haqiqatdan ham, funksiyalar ketma-ketligi fazodan olingan ixtiyoriy ketma-ketlik bo’lib R²ⁿ fazoda 1 ga intilsin va ixtiyoriy asosiy funksiya shunday bo’lsinki, bunda

munosabat o’rinli bo’lsin.
Ma’lumki, tenglikdan foydalanib

ekanligini hosil qilamiz. Shuning uchun shartni qanoatlantiruvchi barcha asosiy funksiya uchun

tenglik o’rinli bo’ladi. Bu munosabat o’rinli bo’lishini bildiradi.