Umurova Dilobarning 7-8-sinf Geometriya darslarida teormalarni o’rgatish metodikasi

BOB. 7-8-SINF GEOMETRIYA DARSIDA TEOREMALARNI O’RGATISH METODLARI

1. Teorema va uning turlari mavzusining nazariy asoslari

Teorema so‘zi grekcha so‘z bo'lib, uning lug'aviy ma’nosi «qarab chiqaman» yoki «о‘у lab ko'raman» demakdir, shuning uchun ham maktab matematika kursida teoremaga quyidagicha ta’rif berilgan:

«Isbotlashni talab etadigan matematik hukm teorema deyiladi».
Maktab matematika kursida teoremalaming quyidagi turlari mavjuddir:
1. To‘g‘ri teorema.
2. Teskari teorema.
3. To'g'ri teoremaga qarama-qarshi teorema.
4. Teskari teoremaga qarama-qarshi teorema.
To‘g‘ri va unga nisbatan teskari bo'lgan teorema tushunchalarini o'quvchilaming ongida shakllantirishni — VI sinf geometriya kursining birinchi darslaridan boshlab amalga oshirish kerak. Masalan, quyidagi ikkita tushunchani olib qaraylik.
1. Bu figura parallelogrammdir.
2. Bu figura to'rtburchakdir.
Berilgan bu ikkala hukm o'zaro bog'liqdir. Boshqacha aytganda, birinchisining haqiqatligidan ikkinchining haqiqatligi kelib chiqadi, ammo ikkinchisining mavjudligidan birinchisining haqiqatligi har doim ham kelib chiqavermaydi. Agar bu bog'lanishni simvolik ravishda yozadigan bo'lsak u quyidagicha bo'ladi:


Parallelogramm

To’rtburchak

Bu yerda biz paralellogramlar sinfini to'rtburchaklar sinfiga kiritdik. Yuqoridagidek bog'lanishlar geometriya kursining birinchi darslaridan boshlab tekshirayotgan matematik hukmlaming ichki o'zaro bog'lanishini ochib beradi. Masalan, «Ichki almashinuvchi burchaklar o'zaro teng» degan hukmni simvolik holda quyidagicha yozish mumkin:

Ichki almashinuvchi burchaklar

Teng burchaklar

Bu yerga agar ichki almashinuvchi burchaklar mavjud bo'lsa, u holda ular teng bo'ladi, degan fikr tasdiqlanadi. Agar yo'nalish teskari tomonga qo'yilsa, bunday mulohaza hosil bo'ladi: «Agar burchaklar teng bo‘lsa, u holda ular ichki almashinuvchi burchaklardir». Agar teoremadagi shart va xulosaning o'zaro bog‘liqligini «agar», «u holda» so‘zlari bilan bolansa, bunda 0 ‘quvchilar teoremaning sharti, natijasi va ular orasidagi bog'lanish haqida chuqurroq tasawurga ega bo'ladi. Masalan, agar bir uchburchakning ikki tom oni ikkinchi uchburchakning ikki tom oniga m os ravishda teng bo'lsa, bunday uchburchaklar teng bo'ladi. Bu aytilgan teoremaning shartidan uning xulosasi kelib chiqmaydi, am m o uning xulosasidan sharti har doim kelib chiqadi. Shuning uchun uni simvolik ravishda bunday yozish mumkin:

Uchburchaklar teng

Bir uchburchakning ikki tomoni ikkinchi uchburchakning ikki tomoniga mos ravishda teng bo'lsa

Maktab geom etriya kursida shunday teoremalar borki, ularning shartidan xulosasining to'g'riligi va aksincha, xulosasidan shartining to'g'riligi kelib chiqadi. Masalan:

1. 
   Agar to'g'ri chiziq burchak bissektrisasi bo'lsa, u berilgan burchakni teng ikkiga bo'ladi.
   

Bunga teskari bo'lgan teorema ham o'rinlidir: «Agar to'g'ri chiziq burchakni teng ikkiga bo'lsa, bu to'g'ri chiziq shu burchakning bissektrisasidir». Bu aytilganlami simvolik ravishda bunday yozish mumkin:

Burchak teng ikkiga bo’linadi

Agar to'g'ri chiziq burchak bissektrisasi bo'lsa

Bundan ko'rinadiki, teorem a shartining m avjudligidan uning xulosasining haqiqiyligi kelib chiqsa va aksincha, uning xulosasining mavjudligidan haqiqatligi kelib chiqsa, teorem aning shart va xulosalarida qatnashayotgan «agar» va «u holda» bog'lovchilarining o'rinlari o'zgaradi.

Agar biz shartli ravishda berilgan teoremani to'g'ri teorema desak, bu teorem adagi shart va xulosalam ing o'rinlarini almashtirish natijasida hosil qilingan teorem ani teskari teorem a deb ataladi.
Endi to'g'ri va teskari teoremalaming berilishi hamda ularni isbotlash uslubiyatini ko'rib chiqaylik.
1.To'g'ri teorema: «Agar uchburchakning biror tom oni katta bo'lsa, u holda ana shu katta tom on qarshisida katta burchak yotadi». Berilgan:
Isbot qilish kerak:
Isboti. uchburchakning tomonida tomonga teng kesmani o'lchab, ana shu nuqtani nuqta bilan birlashtiriladi, natijada teng yonli uchburchak hosil bo'ladi. uchburchak teng yonli bo'lgani uchun . BDA burchak ADC burchakning tashqi burchagi bo'lgani uchun bo‘ladi, bundan ekani kelib chiqadi. Bu yerdagi burchak A burchakning bir qismi xolos. Shuning uchun
Teskari teorema: «Agar uchburchakning biror burchagi katta bo'lsa, u holda ana shu katta burchak qarshisida katta tomon yotadi».
Isboti. 1) uchburchakning AB tomoni hech qachon tomonidan katta bo‘la olmaydi, chunki to'g'ri teoremada biz katta tomon qarshisida katta burchak yotadi, deb isbot qildik, aks holda ligi kelib chiqadi, bu esa teorema shartiga ziddir.
2) AB tomon BC tomonga teng ham bo'la olmaydi, chunki teng yonli emas, agar teng yonli bo'lganda edi tenglik o'rinli bo'lib, bu ham teorema shartiga zid bo'lar edi.
3) Agar AB tomon BC tomondan katta bo'lmasa yoki unga teng bo‘lmasa, u holda ligi kelib chiqadi.
2. To'g'ri teorema: Agar uchburchakning tomoniari teng bo'lsa, и holda bu tomonlar qarshisida teng burchaklar yotadi.
Berilgan: . Isbot qilish kerak:
Isboti. asosi AB bo'lgan teng yonli uchburchak bo'lsin. ekanligi isbotlanadi. Uchburchaklar tengligining birinchi alomatiga ko'ra CAB burchak CAB burchakka teng bo'ladi, chunki va . Bu uchburchaklarning tengligidan:
Teskari teorema. Agar uchburchakning burchaklari о ‘zaro teng bo ‘Isa, и holda bu burchaklar qarshisida teng tomonlar yotadi.
Berilgan: .
Isbot qilish kerak: .
Isboti. 1) tomon tomondan katta bo'la olmaydi, aks holda awalgi isbot qilingan teoremaga A, ko'ra bo‘lar edi, bu esa teorema shartiga ziddir.
2) tomon tomondan kichik ham bo‘la olmaydi, aks holda awalgi isbot qilingan teoremaga ko'ra bo'lar edi, bu esa teorema shartiga ziddir. Demak, .
4. To'g'ri teorema. Agar uchburchak to ‘g ‘ri burchakli bo‘lib, uning bir burchagi 30° bo ‘Isa, u holda 30° li burchak qarshisidagi katet gipotenuzaning yarmiga teng bo ‘ladi
Berilgan: ABC burchak to'g'ri burchakli,
Isbot qilish kerak:
Isboti. AC katetni davom ettirib, kesmani qo'yib, D nuqtani В nuqta bilan birlashtiramiz. U holda tenglik hosil bo'ladi, chunki va bo'lganligi uchun ABD uchburchakning va burchaklari 60° dan, AD teng tomonli uchburchakdir.
; AD=AB, shuning uchun
Teskari teorema. Agar to ‘g ‘ri burchakli uchburchakning kateti gipotenuzaning yarmiga teng bo‘Isa, u holda shu katet qarshisidagi burchak ga teng bo'ladi.
В e r i l g a n: to'g'ri burchakli,

Isbot qilish kerak:
Isboti. katetni davom ettirib qo'yiladi, u holda bo'ladi, bundan ekani kelib chiqadi. B va D nuqtalami birlashtirsak, bo'ladi, chunki bulaming ikkita kateti va ular orasidagi burchaklari o'zaro teng.
ekanligidan AD=AB ga, u holda va bulardan teng tomonli ekanligini kelib chiqadi, u holda , , bu burchaklar yig'indisi ni hosil qiladi, shuning uchun
Agar to'g'ri teoremaning shartini p va uning xulosasini q desak, u holda yuqoridagi teorema turlari uchun quyidagi simvolik ifodalar o'rinlidir:

1. 
   (to'g'ri teorema); 2 ) (teskari teorema);
   

3) (to‘g‘ri teoremaga qarama-qarshi teorema);
4) (teskari teoremaga qarama-qarshi teorema).
Quyidagi teoremani to‘g‘ri teorema deb olib, unga nisbatan yuqoridagi teoremaning turlarini qo'llasak, bunday teoremalar hosil bo'ladi:
1) Agar to'rtburchak paralellogramm bo‘Isa, uning diagonali kesishish nuqtasida teng ikkiga bo ‘linadi,
2) Agar to ‘rtburchanning diagonallari kesishish nuqtasida teng ikkiga bo ‘linsa, u holda bu to ‘rtburchak paralellogrammdir.
3) Agar to ‘rtburchak paralellogramm bo ‘Imasa, uning diagonallari kesishish nuqtasida teng ikkiga bo‘linmaydi
4) Agar to'rtburchakning diogonali kesishib, teng ikkiga bo'linmasa, u holda bunday to ‘rtburchak paralelogramm emas,
Bu misoldan ko'rinadiki, agar to'g'ri teoremani shart va xulosalarga ajratish mumkin bo'lsa, u holda ana shu to'g'ri teoremaga teskari, qaramaqarshi hamda to'g'ri teoremadan hosil qilingan teskari teoremaga qaramaqarshi teoremalami hosil qilish mumkin.

2. Teoremalarni isbotlash metodlari

Ta’rif. Isbotlash — deduktiv xulosa chiqarish zanjiri, demakdir.

Har qanday isbotlash jarayoni quyidagi uch qismni o'z ichiga oladi:
1. Teoremaning bayoni — isbot lalab etiladigan holat.
2. Argumentlar — teoremani isbotlash jarayonida ishlatilgan matematik hukmlar.
3. Isbotlash — deduktiv xulosa chiqarish orqali teorema xulosasida topish talab qilingan noma’lumni uning shartlari hamda awaldan ma’lum bo'lgan argumentlardan foydalanib keltirib chiqarish.
Teoremani isbotlashga kirish va uni isbotlash jarayonida o'qituvchi yordamida o'quvchilar quyidagi mantiqiy ketma-ketlikka ega bo'lgan bosqichlami bajarishlari kerak:
1) Teoremaning sharti va unmg xulosasi nimadan iborat ekanligini to'la tushunib olishlari kerak.
2) Ana shu teoremaning shart va xulosasida qatnashayotgan har bir matematik tushunchaning ma’nosini bilishlari kerak.
3) Teoremaning shart va xulosa qismlarini matematik simvollar orqali ifodalashlari kerak.
4) Teoremaning shartida qatnashayotgan ma’lum parametrlar teorema xulosasidagi noma’lumni aniqlay oladimi yoki yo'qmi ekanligini bilishlari kerak.
5) Teoremani isbotlash jarayonida teoremadagi shartlardan teorema xulosasining to‘g‘riligini ko'rsatuvchi natijalar keltirib chiqarishi kerak.
6) Teoremani isbotlash jarayonidagi mantiqiy mulohazalarda teoremaning shartidan to‘la foydalanishlari kerak.
7) Teorema isbot qilib bo'lingach, isbotlashda qo'llanilgan metodni ko'zdan kechirish va imkoni bo‘lsa, isbotlashning boshqa usullarini qidirib topish kerak.
Maktab matematika kursidagi teoremalami isbotlash ikki usulda amalga oshiriladi.
1) Bevosita isbotlash usuli (to‘g‘ri isbotlash usuli);
2) Bilvosita isbotlash usuli (teskarisidan faraz qilish usuli);
Bevosita isbotlash usuli jarayonida teoremaning shartida qatnashayotgan ma’lum va parametrlardan hamda awaldan ma’lum bo‘lgan aksioma, ta’rif va teoremalardan foydalangan holda mantiqiy mulohaza yuritib, teorema xulosasida talab qilingan noma’lumlar topiladi. Teorernalami bunday isbotlash analiz va sintez orqali amalga oshiriladi.
Ta’rif. Noma’lumlardan ma’lumlarga tomonga izlash metodi analiz deyiladi.
Psixologik olimlar analiz metodini quyidagicha ta’riflaydilar. analiz — bu butunlardan bo ‘laklarga tomon izlash demakdir.
Ta’rif. M a ’lumlardan nom a’lumlarga tomon izlash metodiga sintez deyiladi.
Psixologik nuqtayi nazardan sintez metodi bo'laklardan butunlarga tomon izlash metodi demakdir.
Fikrimiz dalili sifatida quyidagi teoremani analiz va sintez metodlari orqali isbotlaymiz.
Teorema. В nuqtada kesishuvchi CD va EF to‘g‘ri chiziqlar a tekislikda yotadi va tekislikda yotmaydigan A nuqta tengliklami qanoatlantiradigan qilib tanlansa, AB to‘g‘ri chiziq tekislikka perpendikular bo'ladi.
Berilg an : tekislik, ).
Isb o t q ilish kerak .
Isbоti . Bu teorema analiz metodi bilan isbotlanadi.

1. 
   ekanligini isbot qilish uchun va ekanligini isbot qilish yetarli.
   

Teoremalarni isbotlashda to`liqsiz induksiya usulidan ham foydalaniladi.
To`liqsiz induksiya
Biz 10 soni 5 ga bo`linadi, 20 soni 5 ga bo`linadi, 100 soni 5 ga bo`linadi, 1000 soni 5 ga bo`linadi degan mulohaza yordamida yozuvi 0 raqami bilan tugaydigan ixtiyoriy son 5 ga bo`linadi deb, shuningdek 15 soni 5 ga bo`linadi, 25 soni 5 ga bo`linadi, 35 soni 5 ga bo`linadi degan mulohaza yordamida yozuvi 5 raqami bilan tugaydigan ixtiyoriy son 5 ga bo`linadi deb xulosa chiqaramiz. Bu mulohazalarni umumlashtirib yozuvi 0 va 5 raqamlari bilan tugaydigan ixtiyoriy son 5 ga bo`linadi deb xulosa chiqaramiz.
Xuddi shuningdek, ifodada o`rniga 1,2,3,4 va hokazo sonlar qo`yilsa, u holda da ifodaning qiymati tub son 43 ga teng, da ifodaning qiymati tub son 47 ga teng, da ifodaning qiymati tub son 53 ga teng ekanligini ko`rish mumkin. n ning qiymatlarida ham natija tub son bo`ladi.
Bu natijalarga suyangan holda n ning ixtiyoriy natural qiymatlarida ifodaning qiymati tub son bo`ladi deb xulosa chiqarish mumkin.
To`liqsiz induksiya bu shunday mulohazalarki, bunda ob’yektlar to’plamining ba’zi ob’yektlari ma’lum xossalarga ega bo`lishdan bu to’plamning barcha ob’yektlari ham shu xossalarga ega deb xulosa chiqarishga asoslanadi.
To`liqsiz induksiya natijasida olingan xulosalar rost ham, yolg`on ham bo`lishi mumkin. Masalan, yozuvi 5 raqami bilan tugaydigan sonning 5 ga bo`linishi haqidagi xulosa rost. n ning ixtiyoriy natural qiymatida ifodaning qiymati tub son bo`ladi» degan xulosa esa yolg`on. Haqiqatan ham, agar bo`lsa, biz ga ega bo`lamiz, bu esa ifodaning qiymati murakkab son ekanligini ko`rsatadi.
Induktiv mulohazalar har doim to`g`ri xulosalarga olib kelavermasa ham, matematika va boshqa fanlarni o`rganishda ularning roli juda katta. Induktiv mulohazalar yuritish davomida konkret xususiy hollarda umumiylikni ko`ra bilish, o`z taxminlarini ayta olish malakalari shakllanadi.
Boshlang`ich sinflarda to`liqsiz induktiv xulosadan tashqari analogiya bo`yicha (taqqoslab) xulosa chiqarishdan keng foydalaniladi, bunda bilimlarni o`rganilgan ob’yektlarga nisbatan kam o`rganilgan ob’yektlarga ko`chirish amalga oshiriladi.
Ko`chirish uchun bu ob’yektlarning o`xshashlik va farq qilish alomatlari haqidagi bilimlar asos bo`lib xizmat qiladi.
Analogiya bizni taxmin va farazlarga olib keladi, matematik induksiyani rivojlantirish imkonini beradi.
Shuning bilan birga analogiya natijasida hosil qilingan xulosalar rost bo`lishi ham, yolg`on bo`lishi ham mumkin. Analogiya natijasida hosil qilingan xulosalar deduktiv metod bilan isbot qilinishi lozim.
Fikrlarning rostligini isbotlash usullari.
Deduktiv xulosa matematik isbotlashlarning asosiy usulidir. Bunda matematik isbot deduktiv mulohazalarning shunday zanjirini ifodalaydiki, ulardan har birining xulosasi, oxirgisidan tashqari, undan keyin keluvchi mulohazalardan biriga asos bo`ladi.
6<7 da’voning rostligining isboti bitta qadamni o`z ichiga olgan bitta mulohazadan tashkil topgan.
Ikki va undan ortiq qadamdan tashkil topgan mulohazaning isbotiga doir misollar ko`rib chiqamiz.
Misol. Har bir diagonal ‘arallelogramni ikkita teng uchburchakka ajratishini isbotlang.
Isboti: 1) ixtiyoriy ‘arallelogramning qarama-qarshi tomonlari teng; - ‘arallelogram (1-rasm), demak , . Mulohaza xulosa qoidasi asosida olib borildi, demak, olingan xulosa rost.



D

C

B

A

1-rasm
Agar bir uchburchakning uchta tomoni mos ravishda ikkinchi uchburchakning uchta tomoniga teng bo`lsa, u holda bunday uchburchaklar teng bo`ladi: , , tomon umumiy. Demak, va uchburchaklar teng.

Bu holda ham mulohaza xulosa qonuni asosida olib borildi, demak xulosa rost. Teorema isbotlandi.
Teoremaning isboti hamma asoslarni ko`rsatish bilan to`la mantiqiy formada olib borilgan mulohazalarning ikki qadamidan tashkil topganini eslatib o`tamiz. Biroq bunday isbotlash uzundan-uzoq shuning uchun odatda ularni mulohazalar sxemasidagi alohida asoslarni tushirib qoldirish bilan ixchamlangan qisqartirilgan formada olib boriladi.
Masalan, biz o`tkazgan isbotning ixchamlangan shakli bunday bo`lishi mumkin: va uchburchaklarda va , va tomonlar teng, chunki ular ‘arallelogramning qarama-qarshi tomonlari, tomon ular uchun umumiy, demak, va uchburchaklar teng.

3. 7-sinf Geometriya darsida “Teoremalarni tuzilishi hqida umumiy tushuncha” mavzusida bir soatlik dars ishlanmasi

7-sinf o’quvchilariga “Teoremalarni tuzilishi hqida umumiy tushuncha” mavzusini o’rgatish bo’yicha dars rejasi quyidagi tartibda olib boriladi.

Darsni boshlashdan oldin darsning maqsadi belgilanadi, dars uchun kerakli jihozlar tayyorlanadi
Maqsad.
1) O`quvchilarni traptsiya o’rta chizigi xossalari qoidalari bilan tanishtirish;
2) O`quvchilarning ilmiy tadqiqotchilik, o`zaro hurmat, birovni tinglay olish xususiyatlarini tarbiyalash.
3) Masalar yechish orqali o`quvchilarning mantiqiy va ijodiy fikrlashini rivojlantirish.