Университета

Математическая модель

Рассматривается одномерная плоская задача совместного неизотермического вытеснения нефти пузырьковой жидкостью (вода с пузырьками газа) в элементе пористой среды с пористостью φ. В этом объеме пустотного пространства одновременно находятся нефть насыщенности S_o, водонасыщен- ности S_w с пузырьками газа насыщенности S_b и свободный газ насыщенности S_g. Здесь и далее нижними индексами «о», «w», «b», «g» обозначены соответственно нефть, вода, пузырьки газа и сво- бодный газ. Согласно определению насыщенностей S_o+ S_w+ S_g+ S_b = 1.
Вытесняющая жидкость представляет собой водогазовую смесь (ВГС, обозначена нижним ин- дексом «wb»), где вода – дисперсионная среда (не- сущая фаза), а пузырьки – дисперсная фаза. Тогда насыщенность ВГС можно записать как S_wb = S_w+ S_b, объемное содержание пузырьков в ВГС – R_b = S_b/S_wb. Скорость фильтрации ВГС определяется как
𝑘𝑘_𝑟𝑤 𝜕𝑃

лирование фильтрации газожидкостных систем. Например, в [4] представлено моделирование не-
𝜈_𝑤𝑏 = − _𝜇


𝑤𝑏
_𝜕𝑥 = 𝜈_𝑤 + 𝜈_𝑏

стационарного течения многофазного потока в пла- сте и в скважине. В [5] авторы разработали матема- тическую модель вытеснения нефти газом с учетом фазового перехода части газа в нефть в форме мик- ропузырьков газа и их последующей адсорбцией на стенках поровых каналов. Авторы [6–7] предложи- ли математические модели нефтегазового течения с учетом различных эффектов, происходящих вслед- ствие образования микропузырьков газа в нефти.
Вязкость ВГС аппроксимируется обобщенной
формулой Эйнштейна 𝜇_𝑤𝑏 = 𝜇_𝑤 ⁽1 + 𝜒𝑅_𝑏 ⁾, где χ =
2.5 – эмпирический коэффициент (данное значение соответствует сферическим пузырькам). Скорости фильтрации пузырьков и воды связаны со скоро- стью фильтрации ВГС в пористой среде следую- щим образом:
𝜈_𝑏 = 𝑅_𝑏 𝜈_𝑤𝑏 , 𝜈_𝑤 = (1 − 𝑅_𝑏 )𝜈_𝑤𝑏 ,

296 МАТЕМАТИКА и МЕХАНИКА

Интенсивность перехода пузырьков в свобод- ную газовую фазу за счет их объединения опреде- ляется как
Для замыкания системы уравнений фазовые проницаемости для нефти, воды и газа определяют- ся согласно [8].

𝑞 = {

0, 𝑅_𝑏
≤ 𝑅^∗
Предполагается, что в начальный момент вре-
мени пористая среда равномерно насыщена нефтью

𝑏
^𝑔 𝑉_𝑏 𝜌_𝑏 𝑗_𝑔⁽𝑅_𝑏 − 𝑅^∗), 𝑅_𝑏 > 𝑅^∗

𝑏 𝑏
где j_g – количество объединенных пузырьков в единице объема, R * – критическое значение объ-
и водой (S_o0, S_w0) при пластовых давлении (P₀) и температуре (T₀). На левой границе задаются на-
сыщенности (𝑆^𝑖𝑛 ,𝑆^𝑖𝑛 ), давление (Pⁱⁿ) и температура

^b in
𝑤 𝑏

емного содержания пузырьков в ВГС, при дости- жении которого пузырьки начинают объединяться и переходят в свободную газовую фазу.
Уравнения сохранения массы для нефти, воды, пузырьков в воде и свободного газа имеют сле- дующий вид:
(T ) закачиваемой ВГС, на правой границе задают- ся постоянное давление (P^out) и условие симметрии по насыщенности и температуре.