Уравнения

Таблица 6. Решение НЛДУ n-го порядка

1 2 n
y⁽ⁿ⁾ + a y^(n-1) + a y^(n-2) + ...+ a y = f ( x),
^yO.H. ^{= y}O.O. ^{+ y}Ч.Н.

1. Метод неопределенных коэффициентов

Вид правой части	Корни характеристического уравнения	Вид частного решения
1. f (x)  Pn (x) - многочлен степени n	а) число 0 не является корнем б) число 0 является корнем кратности r	y^% Qn (x) y^% x^rQ (x) n
2. f (x)  e^^xP (x) n	а) число  не является корнем б) число  является корнем кратности r	y^% e^ ^xQ (x) n y^% x^re^^xQ (x) n

3. f (x)  Acos  x   B sin  x	а) число i не являет- ся корнем б) число i является корнем кратности r	y^% A1 cos  x  B1 sin  x y^% x^r ( A cos  x  1  B1 sin  x)
4. f (x)  Pn (x) cos  x   Rm (x)sin  x	а) число i не являет- ся корнем б) число i является корнем кратности r	y^% Qk cos  x  Mk sin  x, k  max(n, m) y^% x^r (Q cos  x  k + Mk sin  x)
5. f (x)  e^ ^x[P (x)  n cos  x  Rm (x)sin  x]	а) число   i не яв- ляется корнем б) число   i явля- ется корнем кратно- сти r	y^% e^ ^x[Q cos  x  k Mk sin  x] y^% x^re^^x[Q cos  x  k Mk sin  x]

Здесь Q, R, M - многочлены с неопределенными коэффициентами.

2. Метод вариации произвольной постоянной

_ c₁^y₁  c₂^ y₂ …  c_n^  0,
^ c^y^  c^ y^ …  c ^  0,


y  c (x) y

• 
  c (x) y
  

…  c

_ x_ y , ^

1 1 2 2 n

…
O.H . 1 1 2 2
n n ^

c^y^n2  c^ y^n2 …  c ^ y^n2  0,
_ 1 1 2 2 n n
^_cy^n1 _{ c y}^n1 _{…  c  y}^n1 _
f _ x_.
_ 1 1 2 2 n n
c₁  _c₁^dx  c₁, c₂  _c^₂dx  c₂ ,…c_n  _c^_ndx  c_n .
Если
f (x) 
f₁ (x) 
f₂ (x) … 
f_k (x) , то частное решение представляет
сумму частных решений, соответствующих каждому слагаемому в пра- вой части.




В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студенты должны знать:

• 
  основные понятия и методы решения ОЛДУ и НЛДУ;
  
• 
  специальные методы решения ОЛДУ и НЛДУ с постоянными коэффициентами.