Уравнения

Решение НЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами методом неопределенных

коэффициентов y^ + py^ + qy = f ( x )

Ранее (п. 12.6) доказано, что общее решение НЛДУ имеет вид:

y_{O.H .}  y_O.O.  y_{Ч .Н .}  y  y^% , где y - общее решение соответствующего ОЛДУ,

характеристическое уравнение которого ние НЛДУ.

k ²  pk  q  0 , а y^% - частное реше-
Частное решение НЛДУ y^% может быть найдено методом неопределен-
ных коэффициентов для некоторых видов функции
f (x)
в правой части
уравнения и корней характеристического уравнения его левой части.
Рассмотрим следующие случаи:

1. 
   Если
   

f (x)  ae^x ,
a  0 , то y^% нужно искать в виде
y^%  Ae^x , где А –
произвольная постоянная, подлежащая определению. Последовательное
дифференцирование дает:
y^%  Ae^x ,
y^%  A ²e^x . Подставляя эти выражения
в НЛДУ и сокращая на
e^x , получим
A_ ²  p  q_  a . (*)

1. 
   Если  не является корнем характеристического уравнения, т.е.
   

 ²  p  q  0 , то уравнение (*) имеет решение
A  ^a и
 ²  p  q
y^%  Ae^x .

2. 
   Если  является корнем характеристического уравнения, то y^% нужно искать в другом виде. Так, если  - простой (однократный) корень характе-
   

ристического уравнения, то ристического уравнения, то
y^%  Axe^x ; если  - двукратный корень характе-
y^%  Ax²e^x .






2
2. f (x)  ax²  bx  c  P (x) .
Частное решение ищем в виде
y^%  Q (x)  Ax²  Bx  C ; найдем A, B, C.



2
y^%  2 Ax  B, y^{% }  2 A, 2 A  2 Apx  pB  Aqx²  Bqx  Cq  ax²  bx  c ,


Aqx²  (2 Ap  Bq)x  (2 A  Bp  Cq)  ax²  bx  c .

Неопределенные коэффициенты находятся из системы:

_ Aq  a,


^2 Ap  Bq  b,


^2 A  Bp  Cq  c.

1. 
   Если число «0» не является корнем характеристического уравнения, то
   

y^%  Ax²  Bx  C ;

2. 
   Если число «0» является простым корнем характеристического уравне-
   

ния, тогда частное решение нужно искать в виде y^%  x _ Ax²  Bx  C _.

3. 
   Если число «0» является двукратным корнем характеристического урав-
   

нения, тогда
y^%  x² ( Ax²  Bx  C) .

3. 
   Если де:
   

f (x)  P_n (x) ,
  0 , то решение y^% нужно искать в следующем ви-

1. 
   если число «0» не является корнем характеристического уравнения, то
   

y^%  Q_n (x) ;

2. 
   если число «0» является простым корнем характеристического уравне-
   

ния, то
y^%  xQ_n (x) ;

3. 
   если число «0» является двукратным корнем характеристического урав-
   

нения, то
y^%  x²Q
(x) , где
Q_n (x)

• 
  многочлен n-го порядка с коэффици-
  

n
ентами, подлежащими определению.

3. 
   Если
   

f (x)  P (x)e^{ x} , где
P_n (x)

• 
  многочлен n-го порядка, то решение y^%
  

n
нужно искать в следующем виде в зависимости от значений корней характе- ристического уравнения:

1. 
   если  не является корнем характеристического уравнения, то
   

y^%  Q_n

10. 
    e^{ x} , где
    

Q_n - многочлен n-ой степени с неопределенными ко-
эффициентами, подлежащими определению подстановкой в НЛДУ;

2. 
   если  - простой (однократный) корень характеристического уравнения,
   

 x
то y^%  xQ_n (x)e ;

3. 
   если  - двукратный корень характеристического уравнения, то
   

n
y^%  x²Q
(x)e^{ x} .

3. 
   f (x)  M cos  x  N sin  x .
   

Будем искать частное решение в виде
y^%  Acos  x  B sin  x , найдем А и В.
y^%   A sin  x  B cos  x , y^%   A ² cos  x  B ² sin  x . Подстановка в НЛДУ дает:
_ A ²  Bp  Aq_cos  x  _B ²  Ap  Bq_sin  x  M cos  x  N sin  x .
Из системы
_^ A_q   ² _  Bp  M ;


^ Ap  B _q   ² _  N

найдем А и В.

1. 
   Если число i не является корнем характеристического уравнения, то
   

y^%  Acos  x  B sin  x ;

2. 
   Если число i является корнем характеристического уравнения, то
   

y^%  x _ Acos  x  B sin  x_ .

3. 
   Если
   

f (x)  P (x)e^{ x} cos  x  Q

10. 
    e^x sin  x , то y^% в зависимости от кор-
    

n m
ней характеристического уравнения нужно искать в виде:

1. 
   если число   i не является корнем характеристического уравнения,
   

p p
то y^%  R (x)e^x cos  x  V (x)e^{ x} sin  x , где
R_p (x)
и V_p (x)
- многочлены с
неопределенными коэффициентами, степень которых равна наивысшей
степени многочленов P_n (x) и Q_m (x) , p  max(n, m);

2. 
   если число   i является корнем характеристического уравнения, то
   

p p
y^%  x[R (x)e^x cos  x  V (x)e^x sin  x].


Указанный вид частного решения сохраняется и в тех случаях, когда
один из многочленов равен нулю, т.е.
f (x)  P (x)e^x cos  x
или

n
x
f (x)  Q_m (x)e sin  x .
Пусть НЛДУ таково, что его правая часть представляет собой сумму не-
скольких, например, двух функций y ^  a₁ y^  a₂ y  f₁ (x)  f₂ (x) . Тогда
если y^%1 - частное решение y ^  a₁ y^  a₂ y  f₁ (x) , а y^%2 - частное решение
y^  a₁ y^  a₂ y  f₂ (x), то частное решение исходного НЛДУ есть сумма
этих двух решений:
y^%  y^%1  y^%2 .

3. Таблица 5. Решение НЛДУ

y= y_O.O. + y_Ч.Н. = y + y^%
y ^ + py^ + qy = f ( x)

1. Метод неопределенных коэффициентов

f (x)	Корни характеристического уравнения	Вид yЧ .Н .  y^%
1. Pn (x)	а) 0 – не корень б) 0 – корень кратно- сти r (r =1,2)	y^% Qn (x) y^% x^rQ (x) n
2. e^ ^xP (x) n	а)  – не корень б)  – корень крат- ности r (r =1,2)	y^% e^ ^xQ (x) n y^% x^re^^xQ (x) n
3. Acos  x  B sin  x	а) i – не корень б) i – корень	y^% A1 cos  x  B sin  x y^% x^r  A cos  x  B sin  x 1 1
4. Pn (x) cos  x   Rm (x)sin  x	а) i – не корень б) i – корень	y^% Qk cos  x  Mk sin  x , y^% x^r[Q cos  x  M sin  x], k k k  max(n, m) .
5. e^^x[P (x) cos  x  n  Rm (x)sin  x]	а)   i – не корень б)   i – корень кратности r (r =1,2)	y^% e^^x[Q cos  x  M sin  x], k k y^% x^re^^x[Q cos  x  M sin  x] k k

Здесь Q и M – многочлены с неизвестными коэффициентами.

2.