Решение задачи 1)- 4) будем искать в виде ряда Фурье неизвестной функции по переменной т е

§ 4.1. Распространение тепла в однородном стержне с импульсным воздействием


Рассмотрим неоднородное уравнение с частными производными
(4.1)
с начальным условием
(4.2)
граничным условие
(4.3)
и условием импульсного воздействия
(4.4)
где – некоторые положительные действительные постоянные, – непрерывные, имеющие кусочно-непрерывную производную и обращающиеся в нуль при функции: – заданные непрерывные функции. Функция как функция переменной , разложима в ряд Фурье на отрезке . Также предполагается, что выполняется условие согласования
Рассмотрим задачу построения решения уравнения (4.1), удовлетворяющего условиям (4.2)-(4.4).
Решение задачи (4.1)-(4.4) будем искать в виде ряда Фурье неизвестной функции по переменной т.е.
(4.5)
где
(4.6)
Выполняя дважды интегрирование по частям, из (4.6) получим
(4.7)
Из уравнения (4.1) следует
(4.8)
В силу граничных условий (4.3) и (4.8) выражение (4.7) преобразуется к виду
(4.9)
Поскольку в силу (4.6)

и

то из (4.9) имеем

или
(4.10)
где
Далее из начального условия (4.2) и (4.6) следует
(4.11)
Из условия импульсного воздействия (4.4) и из (4.5) имеем

Отсюда находим условия импульсного воздействия для (4.10)
(4.12)
Решая уравнение (4.10) в силу (4.1) и (4.12), находим
(4.13)
Подставляя (4.13) в (4.5), получим ряд
(4.14)
Рассмотрим частные случаи.
1. Если предположить, что в задаче (4.1)-(4.4) при всех , то из (4.14) получим
(4.15)
Так как функции и согласно предположению непрерывны, имеют кусочно-непрерывную производную и обращаются в нуль на концах отрезке то ряды
(4.16)
сходятся при абсолютно и равномерно.
Так как для имеем , то выполняются неравенства

и, следовательно, ряды

также сходятся при каждом в области

поэтому функции , определенная выражением (4.15), непрерывна в области , имеет разрывы первого рода при удовлетворяет начальному условию (4.2), тривиальным граничным условиям и условиям импульсного воздействия (4.4).
Покажем, что функция удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности в области . Для этого достаточно показать, что ряды, полученные из (4.15) почленным дифференцированием по два раза и по один раз, также сходятся абсолютно и равномерно в области . Это утверждение следует из того, что при любом и достаточно большим имеют места неравенства

где
Следовательно, формула (4.15) отражает процесс распространения тепла в стержне длиной , на концах которого поддерживается нулевая температура и которой находится под воздействием источников, способных в фиксированные моменты времени “мгновенно” изменить температуру стержня в точке с абсциссой на величину
Если дополнительно положить для всех то температура стержня будет изменяться по закону

В этом случае температура стрежня меняется по времени благодаря только источниками тепла импульсной природы.
2. Если предположить, что в задаче (4.1)-(4.4) где то из (4.14) получаем функцию

описывающую процесс распространения тепла в стержне с импульсным воздействием, на концах которого поддерживаются заданные переменные температуры и
3. Если в (4.1)-(4.4) имеем где то из (4.14) находим функцию

которая описывает процесс распространения тепла в стержне с импульсным воздействием, находящегося под воздействием некоторого внешнего источника теплового воздействия причем в начальный момент во всех токах стрежня поддерживается нулевая температура.
Рассмотрим теперь уравнение (4.1) с начальным условием (4.2), граничным условием вида
(4.17)
где -коэффициент теплообмена, и условием импульсного воздействия (4.4).
Пусть
(4.18)
-решения краевой задачи

где -положительные корни трансцендентного уравнения

которое, как несложно убедится, имеет бесконечное множество вещественных (положительных) корней.
Систем (4.18) образует ортогональную систему функций, с помощью которой произвольную функцию из пространства можно записать в виде ее ряда Фурье.
Тогда решение задачи (4.1), (4.2), (4.4), (4.17) можно представить в виде ряда Фурье по системе функций (4.18) следующим образом:
(4.19)
где
(4.20)
Подставляя (4.19) в уравнение (4.1) и сравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение
(4.21)
где
Из начального условия (4.2) и условия импульсного воздействия (4.4) в силу (4.19) и (4.20) находим для функций начальные значения
(4.22)
и условия импульсного воздействия (скачка)
(4.23)
Решая уравнение (4.21) с начальным условием и условием импульсного воздействия (4.23), имеем
(4.24)
где
Подставляя (4.24) в (4.19), окончательно получим
(4.15)

Сходимость рядов

в области можно доказать с помощью рассуждений, аналогичных рассуждениям, использованных при доказательстве сходимости рядов (4.16).
Таким образом, ряд (4.24) является решением уравнения (4.1) с начальным условием (4.2), условием импульсного воздействия (4.4) и граничным условием (4.17).
В частности, если при то из (4.25) получаем функцию

описывающую процесс распространения тепла в стержне с импульсным воздействием, на концах которого происходит свободный теплообмен с окружающей средой.