Решение задачи 1)- 4) будем искать в виде ряда Фурье неизвестной функции по переменной т е

§ 4.2. Распространение тепла в прямоугольной пластине с импульсным воздействием
Рассмотрим задачу о распространении тепла в прямоугольной тонкий однородной пластинке, находящейся под воздействием некоторых источников тепла, способных в моменты времени “мгновенно” изменить температуру пластинки в точке на заданную величину соответственно. При этом считаем начальное распределение температуры в пластинке заданным, а в контуре пластинки поддерживается заданная температура. Эта задача сводится к решению уравнения
(4.26)
при начальном условии
(4.27)
при граничных условиях

(4.28)

и условии импульсного воздействия
(4.29)
где - непрерывные и имеющие кусочно-гладкие производные в прямоугольнике функции; -заданные на множествах , соответственно, непрерывные функции, а функция , рассматриваемая как функция переменных и может быть разложена в ряд Фурье
(4.30)
(4.31)
Решение задачи (4.26)-(4.29) будем искать в виде ряда
(4.32)
где
(4.33)
В (4.33) дважды проинтегрируем по частям по переменной
(4.34)
В силу уравнения (4.26) выполнено соотношение
(4.35)
Подставляя (4.35) в (4.34), получим

(4.37)
В последнем слагаемом в (4.37) проинтергируем по частям два раза по переменной . Имеем:
(4.38)
В силу (4.38) выражение (4.37) преобразуется к виду
(4.39)
Дифференцируя (4.33) по имеем
(4.40)
Тогда с учетов (4.31), (4.32) и (4.40) из (4.39) получим
(4.41)
Из условия импульсного воздействия (4.29) и начального условия (4.27), соответственно, следует
(4.42)
(4.43)
Решая уравнение (4.41) при условии импульсного воздействия (4.42) и начального условия (4.43), получим

Подставляя найденное для выражение в (4.32), получим ряд Фурье для функции вида

(4.44)
Отсюда предполагая, что и получим функцию

представляющую собой решение (4.26)-(4.29) и описывающую процесс распространения тепла в однородной пластинке, контуры которой теплоизолированы.
Если дополнительно положить то из (4.44) получаем функцию.

описывающую процесс распределения тепла в тонкий прямоугольной пластинке, находящейся под воздействием импульсных источников, на границе которой поддерживается нулевая температура, в предположении, что тепловой обмен между боковой поверхностью пластинки с окружающей средой отсутствует.