Решение задачи 1)- 4) будем искать в виде ряда Фурье неизвестной функции по переменной т е

§ 4.3. Распространение тепла в бесконечном цилиндре
Рассмотрим задачу о радиальном распространении тепла в бесконечном круговом цилиндре радиуса , находящегося под воздействием источников тепла, способных мгновенно изменить температуру цилиндра в точке на величину в некоторые фиксированные моменты времени соответственно. при этом будем считать, что на боковой поверхности цилиндра поддерживается постоянная (равная нулю) температура.
Эта задача приводит к интегрированию уравнения
(4.45)
с импульсным воздействием
(4.46)
при граничном условии
(4.47)
и при начальном условии
(4.48)
Решение задачи (4.45)-(4.48) будем искать в виде ряда
(4.49)
где – непрерывно дифференцируемые при и отличные от нуля функции, а - дважды непрерывно дифференцируемые при всех функции.
Подставляя ряд (4.49) в уравнение (4.45), имеем
(4.50)
Отсюда, требуя равенство соответствующих членов этих рядов, получим
(4.51)
Разделяя переменные в (4.51), приходим к равенству
(4.52)
Левая часть равенства (4.52) зависит только от , а правая – только от и равенство возможно лишь тогда, когда общая величина отношений (4.52) будет постоянной, которую обозначим через .
Тогда из равенства (4.52) получим счетную систему обыкновенных дифференциальных уравнений
(4.53)
(4.54)
где
Далее, подставляя ряд (4.49) в условии импульсного воздействия (4.46) и условия (4.47), (4.48), соответственно, имеем
(4.55)
(4.56)
 (4.60)
Решение уравнение (4.59), согласно теории функции Бесселя, имеет вид

где , если . В силу условия конечности температуры на оси цилиндра положим . Параметра определяется из уравнения
(4.61)
и может принимать счетное множество значений
(4.62)
где – положительные корни уравнения
Следовательно, в (4.49) в качестве функций , можно выбрать соответствующие каждому собственному значению , функции
(4.63)
При таком выборе ряды (4.55) и (4.57), соответственно, будут представлять собой разложение заданных функций , и по функциям Бесселя на интервале . При этом коэффициенты определяются по формуле
(4.64)
(4.65)
где
Таким образом, для нахождения функций имеем дифференциальное уравнение первого порядка (4.53) с условием импульсного воздействия (4.64) и начальным условием (4.65). решая это уравнение, в силу равенства (4.62) находим
(4.66)
где и
Подставляя (4.63) и (4.66) в (4.49), получим решение задачи (4.45)-(4.48) в виде
(4.67)
где причем
2. Если на поверхности цилиндре происходит теплообмен с окружающей средой, то задача сводится к решению уравнения (4.45) с импульсным воздействием (4.46) и начальным условием (4.48) при граничном условии
(4.68)
Повторив рассуждения изложенные выше, получим снова систему уравнений вида (4.53), (4.54) и найдем
Удовлетворяя граничному условию (4.68), имеем
(4.69)
где обозначено . Положительные корни уравнения (4.69) обозначим через и положим, что
(4.70)
Для нахождения функций в этом случае следует решить систему уравнений (4.53) с импульсным воздействием вида
(4.71)
при начальном условии
(4.72)
соответственно. Решая последнюю задачу, находим

(4.73)
где
Тогда в силу (4.70) и (4.73) решение задачи (4.45), (4.46), (4.48) и (4.68), при всех будет иметь вид