Решение задачи 1)- 4) будем искать в виде ряда Фурье неизвестной функции по переменной т е

§ 4.4. Распространение тепла в однородном шаре под действием импульсных источников

Исследуем задачу о распространении тепла в однородном шаре радиуса , находящегося под воздействием источников тепла, способных мгновенно изменить температуру шара в некоторые фиксированные моменты времени.

1. Пусть начальная температура шара равна , а температура на поверхности шара описывается функцией . В этом случае задача сводится к интегрированию уравнения теплопроводности
(4.73)
с импульсным воздействием
(4.74)
при граничном условии
(4.75)
и начальном условии
(4.76)
Если произвести замену то задача (4.73)-(4.76) сведется к задаче интегрирования уравнения вида
(4.77)
с импульсным воздействием
(4.78)
при граничных условиях
(4.79)
и начальном условии
(4.80)
Решение задачи (4.77)-(4.80) будем искать виде ряда
(4.81)
где
(4.82)
Дифференцируя (4.82), в силу уравнения (4.77) находим

т.е.
(4.83)
Выполняя дважды интегрирование по частям в правой части равенства (4.82), в силу граничных условий (4.79) и равенства (4.83), получим обыкновенное линейное дифференциальное уравнение вида
(4.84)
При из условия импульсного воздействия (4.78), и из (4.81), (4.82) следует
(4.85)
а из начального условия (4.80) и из (4.82), получим
(4.86)
Таким образом, для определения коэффициентов ряда (4.81) мы имеем линейное неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка (4.84) с импульсным воздействием (4.85).
Решая это уравнение при начальном условии (4.86), находим


(4.87)
где .
Подставляя теперь (4.87) в (4.81) и разделяя обе части полученного равенства на , получаем решение задачи (4.73)-(4.76) в виде
(4.88)
где
В частности, если начальная температура шара равна нулю, а температура поверхности шара постоянна и равна , то закона распространения тепла в таком однородном шаре с импульсным воздействием можно представить в виде

где .