Urganch davlat universiteti fizika matematika fakulteti matematika yo
Download 0.69 Mb. Pdf ko'rish
|
DIFFERENSIAL TENGLAMA pdf
- Bu sahifa navigatsiya:
- JUMANIYAZOVA RO’ZANING ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALAR FANIDAN
- REJA: I.KIRISH II.ASOSIY QISM 1. Limit davra va uning yaqinidagi trayektoriyalar
- Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati
- Kirish
- 1.LIMIT DAVRA VA UNING YAQINIDAGI TRAYEKTORIYALAR
- 2.ERGASH FUNKSIYA VA UNING XOSSALARI.
- 3. ERGASH FUNKSIYANING GEOMETRIK TASVIRI.
- 4. LYAPUNOVNING HARAKTERISTIK KO’RSATKICHI
|
O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI
MATEMATIKA YO’NALISHI 172-MATEMATIKA GURUHI TALABASI JUMANIYAZOVA RO’ZANING ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALAR FANIDAN
KURS ISHI
REJA: I.KIRISH II.ASOSIY QISM 1. Limit davra va uning yaqinidagi trayektoriyalar 2. Ergash funksiya va uning xossalari 3. Ergash funksiyaning geometrik tasviri 4. Lyapunovning harakteristik ko’rsatkichi. IV.XULOSA Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati
Kirish
Limit davra va ergash funksiya tushunchalarini ulug’ fransuz matematigi A.Puankare kiritgan bo’lib, bu tushunchalar haqida dastlabki ilmiy natijalar uning o’ziga tegishli. Limit davralar texnikada turli asbob va qurilmalarni loyixalashda muhim rol o’ynaydi. Texnikada so’nmas tebranishlar shu limit davralar tushunchasiga mos keladi. Bu moslikni birinchi marta A.A.Andronov aniqlagan.
Ushbu 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 , ,..., , , ,..., , .......................... , ,...,
n n n n n x f x x x x f x x x x f x x x (1) muxtor sistemani qaraylik. Unda 1 1 2 1 2 , ,..., ,.... , ,..., n n n f x x x f x x x (qisqacha ( )
vektor funksiya ) funksiyalar n o’lchovli fazoning biror P n D sohasida aniqlangan va o’zining xususiy hosilalari bilan uzluksiz deb qaraymiz. U holda
sohaning har bir nuqtasidan (1) sistemaning faqat bitta trayektoriyasi o’tadi. Keyingi mulohazalarda ko’pincha n=2 bo’lgan hol ko’riladi. Unda soddalik uchun n D soha sifatida butun P tekislik qaraladi.
1.LIMIT DAVRA VA UNING YAQINIDAGI TRAYEKTORIYALAR. Endi limit davra tushunchasini kiritamiz (n=2) 1-ta’rif. (1) muxtor sistemaning yakkalangan davriy yechimi limit davra (sikl) deyiladi. To’laroq aytganda, ( )
vektor-funksiya (1) sistemaning davriy yechimi bo’lib, K chiziq esa P tekislikda shu yechimning grafigi (yopiq egri chiziq, yopiq trayektoriya) bo’lsin. Agar shunday musbat son 0 mavjud bo’lsaki, P tekislikdagi K egri chiziqdan dan kichik masofada joylashgan nuqta
qanday bo’lmasin, (1) sistemaning shu nuqtadan o’tadigan yechimi davriy bo’lmasa, u holda ( )
yechim (yoki K trayektoriya) (1) sistemaning limit davrasi deyiladi. Ta’rifdan ko’rinadiki, agar ,
K K va
x bo’lsa, (1) sistemaning ( )
x t 0 , boshlang’ich qiymatlarida ega bo’lgan ( , ) x t
yechimi davriy bo’lmaydi. Boshqacha aytganda, limit davraga yaqin masofada sistemaning yopiq trayektoriyalari mavjud emas. Unday bo’lsa, limit davraga yaqin trayektoriyalar o’zini qanday tutadi? Quyida shuni o’rganamiz.
( )
x t yechim (1) sistemaning limit davrasi bo’lib, K unga mos yopiq trayektoriya bo’lsin. Yopiq trayektoriya, ma’lumki, tekislikni ikki ichki va tashqi sohaga bo’ladi. Muxtor sistemaning trayektoriyalari o’zaro kesisha olmasligi uchun (1) sistemaning har bir K dan farqli trayektoriyasi unga nisbatan yo ichki, yo tashqi bo’ladi. Ham tashqi, ham ichki trayektoriyalar uchun biri ikkinchisini inkor qiladigan quyidagi ikki hol yuz berishi mumkin. Ya’ni K ga yaqin nuqtada boshlanadigan barcha ichki trayektoriyalar yo
da, yoki t
da spiral kabi K ga o’raladi. Xuddi shu tasdiq tashqi trayektoriyalar uchun ham o’rinli. Bu teoremaning isbotiga o’tishdan avval ba’zi yordamchi tasdiqlar kerak bo’ladi. Agar K ga yaqin barcha nuqtalardan boshlanadigan barcha trayektoriyalar t
da K ga o’ralsa, u holda limit davra turg’un deyiladi. Agar K ga yaqin barcha nuqtalardan boshlanadigan barcha trayektoriyalar t
da K ga o’ralsa, u holda limit davra butunlay noturg’un deyiladi. Qolgan ikki holda (xususan, ichki trayektoriyalar K ga
da, tashqi trayektoriyalar t
da o’ralsa va aksincha) limit davra yarim turg’un deyiladi. Limit davra yaqinidagi trayektoriyalarning xossalarini, ya’ni ularning limit davraga o’ralashini bayon etishda ergash funksiya tushunchasi muhim rol o’ynaydi. A.Puankarening katta xizmatlaridan biri shu funksiyani kiritib, undan foydalanganligidadir. Ergash funksiyaning ta’rifini ikki og’iz so’z bilan bayon etib bo’lmaydi, uni ma’lum ma’noda ko’riladi. P tekislikda davri bo’lgan davriy yechimning grafigidan iborat yopiq egri chiziqni K deylik. L esa P tekislikda yotgan shunday to’g’ri chiziqli kesmaki, u K egri chiziqni L ga nisbatan ichki bo’lgan yagona a nuqta noldan farqli burchak ostida (ya’ni urinmasdan ) kesib o’tsin
kesmasi yotgan to’g’ri chiziqda sonli koordinata kiritamiz. a nuqtaning koordinatasini 0
, L kesmaning a dan farqli ixtiyoriy nuqtasini p deb, uning koordinatasini u deb belgilaymiz. Shunday qilib, 0 ( )
a a u , ( ) p p u . Endi p nuqtadan (1) sistemaning ( , )
t p trayektoriyasini o’tkazib, shu trayektoriya bo’yicha t ning o’sishiga mos yo’nalishda harakat qilamiz. Agar p nuqta a nuqtaga yaqin bo’lsa, u holda K ning yaqinida boshqa yopiq trayektoriya yo’qligidan ( , )
trayektoriya har ga yaqin vaqtda L kesmani kesib o’tadi. Shu trayektoriyaning L kesma bilan p nuqtadan keyin birinchi uchrashuv nuqtasini q , uning koordinatasini esa 1 ( )
u deymiz. Agar p nuqtadan ( , ) t p
trayektoriya bo’ylab, t ning kamayishiga mos yo’nalishda harakat qilsak, shu trayektoriya ga yaqin vaqtda L bilan birinchi marta uchrashadi. Shu nuqtani r , koordinatasini esa 1 ( )
u deb belgilaymiz.Bunda p nuqta K yopiq chizig’idan tashqarida olingan. Xuddi shuni p nuqta K ning ichida yotganda ham keltirish mumkin. Yuqorida ikki 1 ( )
u va 1 ( )
u funksiyalar kiritildi. Ular uzluksiz va o’zaro teskari funksiyalardir, ya’ni
1 1 ( ( ))
u u
, 1 1 ( ( )) u u
Haqiqatan ham, q nuqtadan t ning kamayishiga mos yo’nalishda trayektoriya bo’ylab harakat qilinsa, L kesmani birinchi marta p nuqtada kesib o’tadi, demak, 1 1 ( ( ))
u u
. Shunga o’xshash, agar r nuqtadan t ning o’sishiga mos yo’nalishda tegishli trayektoriya bo’ylab harakat qilinsa, u holda bu trayektoriya birinchi marta L kesmani p nuqtada kesib o’tadi, demak, 1 1
( )) u u
. Keyingi bandda 1 ( )
u va 1 ( )
u funksiyalarning xossalari o’rganiladi. 1 ( )
u funksiya ergash funksiya deyiladi, bu funksiya uzluksiz va uzluksiz teskari funksiyaga ega bo’lib, 1 1 1 ( )
( ) u u xossa o’rinli. Ergash funksiyani
1 ( ) u
(2) deb belgilaymiz. Endi 1-teoremaning isbotiga o’tamiz. ISBOT. P tekislikda shunda L kesma olamizki, u K egri chiziqni yagona a nuqtada urinmasdan va L ga nisbatan ichki nuqtada kesib o’tsin. L kesmada son koordinata (parametr) kiritamiz va 0
bilan a nuqtaning koordinaatasini belgilaymiz. Zarurat bo’lsa, 0
parameter yordamida a nuqtaning Dekart koordinatalaarini toppish mumkin. Uning uchun L kema yotgan to’g’ri chiziqning parametrik tenglamasini yozib, parametrga 0
u qiymat berish yetarli. Albatta, u parametrning o’sishiga L kesma bo’yicha biror yo’nalish mos keladi. Shu parameter biror yopiq oraliqda qiymatlar qabul qilganda kesmaning biror uchidan boshqa uchigacha bo’lgan nuqtalarni ketma-ket hosil qilish mumkin. Xususan, biz ko’rayotgan holda L kesmaning K dan tashqaridagi qismiga parametrning 0
dan kata qiymatlari, kesmaning K ning ichidagi qismiga esa 0
dan kichik qiymatlari mos kelsin, deylik, L kesmaga mos ergash funksiyani ( ) u
deb belgilaymiz. 0
K bo’lgani uchun 0 0 ( ) u u bo’ladi. Endi -yetarli kichik musbat son bo’lsin. U holda 0
u interval uchun (1) sistemaning koordinatasi shu intervaldan olingan ( )
nuqtadan chiqadigan trayektoriyasi vaqt o’tishi bilan L kesmani birinchi marta q nuqtada kesib o’tadi. Shu nuqtaning koordinatasini ( )
deylik. Agar q nuqtaning koordinatasi ham p nuqtasinikidek u ga teng bo’lsa, u holda p nuqtadan chiqadigan trayektoriya yana shu nuqtaga, ya’ni ( ( ))
( ) q u p u nuqtaga keladi, demak, trayektoriya yopiq bo’ladi. Bu hol o’rinli bo’lishi uchun ushbu
( )
u u (3) tenglik o’rinli bo’lishi lozim. Ammo K chiziq (3) sistemaning yakkalangan trayektoriyasi bo’lgani uchun 0
u intervalda (3) tenglama yagona yechimga ega. Endi limit davra K dan tashqarida unga yetarli yaqin trayektoriyalarni o’rganamiz, bu trayektoriyalarga 0 0 u u u interval mos keladi. 0 0
u u intervalga mos ichki trayektoriyalar shunga o’xshash o’rganiladi.
Shunday qilib, yuqoridagi mulohazalardan 0 0
u u intervalda quyidagi ikki tengsizlikdan biri bajariladi :
( )
u u (4) ( )
u u (5) Agar ko’rilayotgan intervalning bir qismida (4) tengsizlik, ikkinchi qismida esa (5) tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda ( )
funksiyaning uzluksizligi tufayli 0 0
u u intervalda (3) tenglik o’rinli bo’ladigan nuqta topilar edi. Bu bo’lishi mumkin emas. Olingan ,
nuqta K dan tashqarida bo’lib, bu nuqtada boshlanaadigan trayektoriyaa K ni kesib o’ta olmagani uchun q L
nuqta ham K dan tashqarida yotadi. Shuning uchun 0
u bo’lganidan
0 ( ) u u (6) tengsizlik o’rinli. Yetarli kichik 0 0
u u intervalda (4) tengsizlik o’rinli bo’lsin. Ko’rilayotgan intervaldan ixtiyoriy 1
sonni olamiz. Endi 1 2
, , , ... u u u sonlar
ketma- ketligini
1 ( ),
1,2, ... i i u u i (7) formula yordamida aniqlaymiz. (4), (5), (6) munosabatlardan 0
u va
1 2 3 ... u u u tengsizliklar kelib chiqadi. Bundan
ketma-ketlik kamayuvchi ekani ko’rinib turibdi. Bu ketma-ketlik quyidan
bilan
chegaralangan bo’lib, kamayuvchi ekanidan uning limiti mavjud. Limitni *
deylik : * lim
i i u u Ammo
* u nuqta
0 0
u u intervalga tegishli, shuning uchun (3) tenglama yechimining yagonaligidan *
kelib chiqadi. Demak, 0 lim i i u u L kesmaning i u koordinataga mos nuqtasini i p desak,
yuqoridagi mulohazalardan lim
i i p a ekaninga ishonamiz. Albatta, i p nuqtadan 1
nuqtaga tegishli trayektoriya bo’ylab kelish vaqti ga yaqin. Shuning uchun i p nuqtadan chiqadigan trayektoriya bilan K trayektoriya orasidagi minimal masofa vaqt ortishi bilan kamayib boradi. Agar biror momentda kamayish jarayoni bo’lmasa, xuddi shu momentda mos nuqta orqali L kesmani o’tkazib,
i u ketma-ketlikning kamayuvchiligiga zid natija olamiz. Bu mulohazalar ko’rsatadiki, 1
nuqtadan chiqadigan trayektoriya vaqt ortishi bilan K ga o’rala boshlaydi (spiral kabi). Shunday qilib, (4) tengsizlik bajarilganda L kesmaning 0 0 u u u intervaldan olingan koordinatasi ixtiyoriy nuqtasidan chiqadigan trayektoriya t
da K ga spiral kabi o’raladi. Agar
0 0
u u intervalda (5) tengsizlik bajarilsa, ( )
u funksiyaga tekari 1
( ) u funksiya uchun biror 0 0 u u u v 0 intervalda ushbu 1 ( ) v v tengsizlik o’rinli bo’ladi. Endi yuqoridagi kabi, L kesmaning koordinatasi v , 0 0
v u bo’lgan nuqtasidan chiqqan trayektoriya t
da K ga spiral kabi o’raladi. 2.ERGASH FUNKSIYA VA UNING XOSSALARI.
(1) sistemaning 0, boshlang’ich qiymatlarga ega bo’lgan yechimini ( , )
( , ) t
, davri bo’lgan va a nuqtadan o’tadigan davriy yechimini ( , ) t a
deb belgilaymiz. ( , )
t a yechimning grafigini - yopiq egri chiziqni K, shu egri chiziqni yagona ichki a nuqtada urinmasdan kesadigan to’g’ri chiziqli kesmani L deylik. L kesmada parametr v kiritamiz. Shu koordinata yordamida L kesmaning parametrik tenglamasi ( )
x g v bo’lsin, a nuqtaning koordinatasini 0 v u
deylik. Yetarli kichik musbat 0 berilganda ham ushbu ( , ( ))
( , ) t g u t u
trayektoriya 0 u u intervalda L kesmani t ning minimal musbat 1 ( ) t u
qiymatida kesib o’tsin. 1 ( )
u esa 1 ( )
t u momentda kesishish nuqtasining koordinatasi bo’lsin. Shunga o’xshash 1 ( ) t u miqdor L kesmani trayektoriya kesib o’tish momentining absolyut qiymati bo’yicha minimal qiymati, 1 ( ) u esa shu momentga mos kesishish nuqtasining koordinatasi bo’lsin. Agar yetarli kichik musbat son 0 berilgan bo’lsa, u holda 0
u intervalda yuqorida ko’rsatilgan 1 ( )
t u , 1 ( ) u , 1 ( )
t u , 1 ( )
u Funksiyalar uzluksiz va quyidagi 1 0
0 0 1 0 1 0 0 ( )
, ( )
, ( )
, ( )
t u u u t u u u
shartlarni qanoatlantiradi. Shu bilan birga 1 1
funksiyalar yetarli kichik u lar uchun teskaridir, ya’ni 1 1
1 ( ( )) , ( ( )) u u u u
va uzluksiz differensiallanuvchidir. Bunda 1 ( ) u
funksiya ergash funksiya deyiladi.
Normal muxtor sistemalarning limit davralarini o’rganish uchun mos ergash funksiyani o’rganish yetarli. Albatta, har bir sistema uchun ergash funksiyani tuzish mumkin bo’lavermaydi. Bu qiyin masala. Quyida biz ergash funksiya mavjud deb farz etib, uni sifat nuqtayi nazaridan tekshiramiz. Soddalik uchun ergash funksiyani ( )
deb belgilaymiz, ushbu ( )
v u ( )
v u (8) egri chiziqning grafigini o’rganamiz. Aslida biz (3) tenglamaning yechimi va (1) sistemaning unga mos limit daavrasini o’rganishimiz lozim. Shu maqsadda , u v o’zgaruvchilar tekisligida (8) egri chiziq bilan u
(9) bissektrissaning kesishish nuqtalarini o’rganamiz. Faraz etaylik, 0 0 u va
0 0 ( ) u u bo’lsin. Shu 0
koordinataga (parametrga) mos limit davraning yetarli kichik atrofini o’rganishimiz kerak. Demak, grafiklar koordinatalar tekisligining I choragida o’rganiladi. ,
u v o’zgaruvchilar tekisligi va unda chizilgan ( )
va u v
chiziqlar grafigi Lamerey diagrammasi deyiladi. (3) tenglamaning barcha yechimlarini topish uchun (8) chiziqlarning barcha kesishish nuqtalarini toppish lozim. Biz 0 0 ( , ) u u nuqtani 0 (
u chuqurroq o’rganamiz. Boshqa kesishish nuqtalari ham shunga o’xshash o’rganiladi. 0
u ga mos kelgan yopiq trayektoriya limit davra bo’lishi uchun 0 0 ( , )
nuqta yakkalangan bo’lishi zarur va yetarli. Agar 0 ( ) 1 u bo’lsa, u holda nuqtada (8) va (9) chiziqlarning grafigi o’zaro urinmaydi. Mos limit davraga esa qo’pol limit davra deyiladi. Ammo 0 (
1 u bo’lsa, limit davraning turg’unligi yuqori tartibli hosilalar yordamida tekshiriladi.
Ushbu
( ) ( )
u u u
(10) yordamchi funksiyani kiritamiz. Ravshanki, limit davraga mos kelgan 0
uchun 0 ( ) 0
funksiya kerakli tartibli barcha hosilalarga ega bo’lsin deb faraz etamiz. 0
nuqtaning yetarli kichik atrofini 0 0 : , 0
u u u
deb belgilaymiz. Biz ish ko’radigan barcha u nuqtalar shu 0
intervaldan olinadi. Buni doim aytb o’tirmaymiz,
bissektrissa I koordinata burchagini ikki
( , ) : I u v v u va 2 ( , ) : I u v v u bo’lakka bo’ladi. Nihoyat, 0
u nuqtaning 0 I atrofida ( )
funksiya uchun Teylor formulasini yozamiz :
( ) 2 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ...
( ) 0( ). 2! ! k k k o u u u u u u u u u u u u k (11) bunda ( )
( ) 0 0 0 0 0 0 0( )
lim 0 ,
( ) ( ) 1 ,
( ) ( ), .... , ( ) ( ),...
k k z z u u u u u u z
Limit davraning turg’unligini ergash funksiya yordamida tekshirish uchun quyidagi hollarni ko’ramiz:
0 ( ) 0 u yoki baribir, 0 ( ) 1
u (qo’pol limit davra) a) 0
u yoki baribir 0 ( ) 1 u Agar
0 u u bo’lsa, ( )
va demak 0 0 ( ) u u u tengsizliklar o’rinli. Bundan 0 0
u u u u tengsizlik kelib chiqadi. Shunga o’xshash, agar 0 ( )
1
u bo’lsa, ( )
u u va demak, 0 0 0 ( ) u u u u ga egamiz. Bundan yana 0 0 ( ) u u u u tengsizlik kelib chiqadi. Demak, 0 ( ) 0
u ***** hamda
0 ( ) 1
u bo’lganda 0
ga mos limit davra turg’un bo’ladi. (6-rasm) b)
0 ( ) 0 u yoki baribir 0 ( ) 1
yordamida 0
nuqtaga mos limit davra butunlay noturg’un ekanini keltirib chiqaramiz. II. ( 1) 0 0 ( ) ... ( )
0 k u u ,
( ) 0 ( ) 0 1, 2,3, ... k u k n.
Demak, 0 ( ) 1
bo’lgan hol ko’rilyapti. a) k=2 bo’lganida 0 (
0 u ,
0 ( ) 0 u ga egamiz. Demak, 0 (
1 u . Shuning uchun ( ) u funksiyaning grafigi bissektrissaga 0 0 ( , )
nuqtada urinadi (11) formuladan shu holda ushbu
2 2 0 0 0 ( ) ( )
( ) 0( ) 2!
u u u u u munosabat kelib chiqadi. Uning o’ng tomonidagi ifodaning ishorasi u ning 0
intervaldan olingan qiymatlarida 0 ( )
u miqdorning ishorasi bilan aniqlanadi. Shuning uchun 0 ( ) 0
( ) 0
yoki
( ) 0
,
u I tengsizlik o’rinli. Demak, ( ) u funksiyaning grafigi 2 I to’plamda joylashgan bo’lib, 0
nuqtaning 0
atrofida qavariqligi pastga qaragan bo’ladi. Shunga o’xshash bo’lganda ( )
u funksiyning grafigi 1 I to’plamda joylashgan bo’lib, 0
intervalda qavariqligi yuqoriga qaragan bo’ladi. Biz limit davraning yarim turg’un bo’lgan holiga egamiz. b)
Endi k=3 bo’lsin. Bu holda 0 0 0 ( )
0 , ( )
0 , ( )
0 u u u (11)
formuladan quyidagiga kelamiz :
3 3
0 0 ( ) ( ) ( ) 0( ). 3! u u u u u u (12) Avvalo 0 0 ( ) ( )
0 u u bo’lgani uchun 0 0 ( , ) u u nuqta ( )
funksiyaning burilish nuqtasi bo’ladi. Demak, funksiyaning garfigi v u bissektrissaning bir tomonidan ikkinchi tomoniga unga urinib o’tadi. Bunda yana ikki hol yuz beradi: 1
) 0
( ) ( ) 0
u
(12) formulaga ko’ra bu holda 0
u bo’lganda ( ) 0
yoki
( ) u u
0 u u bo’lganda esa ( ) 0
yoki
( ) u u tengsizliklar o’rinli bo’ladi. Ko’rinadiki, ( )
u funksiyaning grafigi v u bissektrisani kesib 1
to’plamdan 2
to’plamga o’tadi. 2
) 0
( ) ( ) 0
u
bu holda 1
dagi mulohazalar yordamida 0
ga
turg’un limit davra mos kelishini ko’rsatish mumkin. )
*
k k , * k =1,2,3,…. Bu holda (11) formuladan topamiz. * *
(2 ) 2 2 0 0 0 * ( ) ( ) ( ) 0( ) (2 )! k k k u u u u u u k
Xuddi k=2 dagi a) holdagi mulohazalar kabi bu holda ham limit davra yarim turg’un bo’ladi. )
*
2 1 ,
0,1,2, ... k k k Bu holda ham (11) formuladan foydalanib quyidagini topamiz: * * * (2 1) 2 1 2 1 0 0 0 * ( ) ( ) ( ) 0( ) (2 1)! k k k u u u u u u k
Endi b) holida yuritilgan mulohazalarni qo’llab, * (2 1) 0 ( ) 0
u bo’lganda limit davra butunlay noturg’un va * (2
0 ( ) 0 k u bo’lganda esa limit davra turg’un ekanini tasdiqlash mumkin. III.
( ) 0 0 0 ( )
( ) ...
( ) ...
0 k u u u
yoki baribir ( ) 0
0 ( ) 1 ,
( ) ...
( ) ...
0 k u u u
Bu holda (11) formuladan ( ) 0
( ) u u kelib chiqadi. Ko’ramizki, L kesmaning 0
koordinatali a nuqtasidan yetarli kichik masofadagi barcha nuqtalaridan yopiq trayektoriyalar o’tadi. Shuning uchun ta’rifga ko’ra 0
ga mos limit davra K ajratilgan yopiq trayektoriya bo’la olmaydi. Bu hol
ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli muxtor sistemaning holat tekisligidagi markaz manzarasiga o’xshaydi.
Shunday qilib, biz ergash funksiyani to’la o’rgandik. k=1 bo’lganda limit davra oddiy deyiladi, k>1 bo’lganda k ning juft yoki toq bo’lishiga qarab mos ravishda juft karrali yoki toq karrali limit davralarga ajratamiz. k>1 ga mos limit davrani qisqacha murakkab limit davra deb ham yuritamiz. Yuqoridagi mulohazalardan quyidagi natija kelib chiqadi.
sistema uchun yopiq trayektoriya mavjud bo’lsa, u holda bu trayektoriya yo yakkalangan, demak, limit davra bo’ladi yoki uning atrofidagi barcha trayektoriyalar yopiq bo’ladi. 4. LYAPUNOVNING HARAKTERISTIK KO’RSATKICHI
Biz bu bandda Lyapunovning harakteristik ko’rsatkichi tushunchasini kiritib, u yordamida limit davraning turg’unligi va noturg’unligi shartini ifodlaymiz. (1) sistemaning davri ga teng bo’lgan K yopiq trayektoriyasining parametrik tenglamalari (n=2 bo’lganda)
( ) ( )
x t y t (13) bo’lib, sistemaning o’zi quyidagi ko’rinishda yozilsin, deylik :
( , ) ( , )
x P x y y Q x y (14) Bunda ( , )
P x y , ( , ) Q x y funksiyalar biror 2
sohada birinchi tartibli xususiy hosilalari
, P dy , Q dx , Q dy bilan birga uzluksiz deb faraz etamiz. 2-ta’rif. Ushbu
0 1
( ( ), ( )) P t t Q t t h dt x y (15) ifoda yopiq K trayektoriyaning harakteristik ko’rsatkichi deyiladi va Lyapunov nomi bilan ataladi. 2-teorema. Agar h<0 bo’lsa, yopiq K trayektoriya turg’un, h>0 bo’lsa, butunlay turg’unmas limit davra bo’ladi.
2 1 (
) ( ) x y x x y P
2 1 (
) ( ) y x y x y Q
(16) sistemaning trayektoriyalari holat tekisligida o’rganilsin.
Parametrik tenglamalari bilan berilgan (K) 2 2 2 2 0 0 1 1 ( 2cos 2sin )
( 2) 2 0 2 2
t t dt dt
(17) chiziq markazi koordinata boshida va radiusi 1 ga teng bo’lgan aylanadan iborat bo’lib, (16) sistemaning yechimidir. (16) sistemaning umumiy yechimi 0 0 0 0 2( ) 2( ) cos( ) sin( ) , 1 1 t t t t t t t t x y Ce Ce
formula bilan ifodalanadi.buni isbotlash uchun qutb koordinatalariga o’tish yetarli. Bundan C=0 bolsa, yuqorida eslatilgan trayektoriya-aylana hosil bo’ladi. Shu yopiq trayektoriya (16) sistemaning yakkalangan yopiq trayektoriyasidir, chunki uning yetarli kichik qiymatlariga mos kelgan boshqa yopiq trayektoriya mavjud emas. Endi bu (K) trayektoriyaning turg’unligini Lyapunovning harakteristik ko’rsatkichi yordamida tekshiramiz. (17) trayektoriya bo’ylab 2
ga teng, ( ( ), ( ))
, ( ( ), ( )) Q t t y
hosilalarni hisoblaymiz: 2 2 2 ( ) ( )
0 ( )
( ) (1 3
) 2cos ,
0 x t x t y t y t P x y t t x
2 2 2 ( ) ( )
0 ( )
( ) (1 3
) 2sin ,
0 x t x t y t y t Q y x t t y
sodda hisoblashlar yordamida h ni topamiz ( 2 ): 2 2 2 2 0 0 1 1 ( 2cos 2sin ) ( 2)
2 0 2 2 h t t dt dt
Download 0.69 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|