Uzluksiz funksiyalar

Funksiyaning uzilish nuqtalari va ularning turlari. Endi funksiyaning uzlukliligi ustida to‘xtalib o‘tamiz.

6-TA’RIF:у=f(x) funksiya uchun uzluksizlikka qo‘yiladigan shartlardan kamida bittasi bajarilmaydigan nuqtalar uning uzilish nuqtalari, funksiyaning o‘zi esa bu nuqtalardauzlukli deb ataladi.
Ta’rifga asosan, biror x=a nuqtada mavjud va , yoki mavjud bo‘lmasa, bu nuqta у=f(x) funksiyaning uzilish nuqtasi bo‘ladi.
Masalan, f(x)=(1–х²)^–2 funksiya uchun х=1 uning uzilish nuqtasi bo‘ladi, chunki bu nuqtalarda . (6) signum funksiya uchun х=0 uzilish nuqtasi bo‘ladi , chunki mavjud emas.
Funksiyaning uzilish nuqtalari uch sinfga ajratiladi.
7-TA’RIF:Agarу=f(x) funksiyaning x=a uzilishnuqtasida
limit mavjud, ammo aD{f} yoki f(a)≠A bo‘lsa, unda x=a funksiyaning
tuzatib bo‘ladigan uzilish nuqtasi deyiladi.
Bu yerda x=a funksiyaning tuzatib bo‘ladigan uzilish nuqtasi deyilishiga sabab shuki, agar f(a)=A deb olsak, unda funksiya x=a nuqtada uzluksiz funksiyaga aylanadi. Masalan, yuqorida ko‘rib o‘tilgan (7) funksiya f(x)=sinx/x uchun f(0)=0 demasdan, f(0)=1 desak, u hamma joyda uzluksiz bo‘ladi.
8-TA’RIF:Agarda x=а nuqta у=f(x) funksiyaning uzilish nuqtasi bo‘lib, bu nuqtada funksiyaning chap f(a–0) va o‘ng f(a+0) limitlari mavjud hamda chekli sonlardan iborat bo‘lsa, х=а funksiyaning I tur uzilish nuqtasi deyiladi. Bunda =f(а+0)–f(а–0) soni funksiyaning a uzilish nuqtasidagi sakrashi dеb ataladi.
Masalan, (6) signum funksiya uchun х=0 I tur uzilish nuqtasi bo‘ladi. Bu holda sgn(0–0)=–1, sgn(0+0)=1 va funksiya bu nuqtada o‘z qiymatini uzluksiz ravishda o‘zgartirmasdan, =1–(–1)=2 sakrash bilan o‘zgartiradi (50-rasm).



8-TA’RIF: Agarda y=f(x) funksiyaning x=a uzilish nuqtasida uning chap va o‘ng limitlaridan kamida bittasi cheksiz yoki mavjud bo‘lmasa, х=а funksiyaning II tur uzilish nuqtasi deyiladi.
Masalan,

funksiya х=0D{f} nuqtada II tur uzilishga ega, chunki f(0+0)=0, f(0–0)= bo‘lmoqda (51-rasmga qarang).

51-rasm

f(x)=х^–1 funksiya uchun х=0D{f} II tur uzilish nuqtasi bo‘ladi, chunki bu nuqtada f(0–0)=  va f(0+0)=, ya’ni chap va o‘ng limitlardan ikkalasi ham cheksiz bo‘lmoqda (52-rasmga qarang).

Endi ushbu funksiyani qaraymiz:

Bu funksiya barcha nuqtalarda, jumladan x=0 nuqtada aniqlangan. Bunda x→0 bo‘lganda |cos(1/x)|≤1, ya’ni chegaralangan funksiya bo‘lgani uchun

tenglik o‘rinli bo‘ladi. Demak, bu funksiya uchun x=0 nuqtada chap limit mavjud va bundan tashqari u chapdan uzluksiz. Endi bu funksiyaning x=0 nuqtadagi o‘ng limitini qaraymiz. Agar x=(2πn+π/2)^–1, nN, deb olsak, unda n→∞ bo‘lganda x→0+0 bo‘ladi va bu holda

natijani olamiz. Xuddi shu tarzda x=(2πn)^–1, nN, deb olsak, unda n→∞ bo‘lganda yana x→0+0 bo‘ladi, ammo bu holda

natijaga kelamiz. Oxirgi ikki tenglikdan qaralayotgan funksiyaning x=0 nuqtada o‘ng limiti mavjud emasligi kelib chiqadi. Demak, bu funksiya uchun x=0 II tur uzilish nuqtasi bo‘ladi.


XULOSA
Funksiyaning eng muhim xususiyatlaridan biri uning uzluksizligi bo‘lib hisoblanadi. Bunga sabab shuki, atrofimizdagi ko‘p jarayonlar uzluksiz ravishda davom etadi va ular uzluksiz funksiyalar orqali ifodalanadi. Funksiya uzluksizligi uning limiti orqali aniqlanadi. Oraliqda uzluksiz funksiyani grafigi uzluksiz, yaxlit chiziqdan iborat funksiya singari tasavvur etish mumkin. Barcha asosiy elementar funksiyalar o‘zlarining aniqlanish sohasida uzluksiz bo‘ladi. Kesmada uzluksiz funksiya shu kesmada o‘zining eng katta va eng kichik qiymatiga erishadi.
Biror nuqtada uzluksiz bo‘lmagan funksiya shu nuqtada, bu nuqta esa uning uzilish nuqtasi deyiladi. Uzilish nuqtalari atrofida funksiya qanday qiymatlar qabul qilishiga qarab, ular tuzatib bo‘ladigan, I va II tur uzilish nuqtalariga ajratiladi.


Tayanch iboralar