В. А. Мироненко динамика ползших поп московский

ПРИМЕР [34}. Найти структуру безразмерного критерия, отве­чающего критической скорости и перехода от ламинарного течения жидкости в круглой трубе к турбулентному. Согласно изложенному в разделе 1.1, на характер течения влияют: 1) радиус трубы R, име­ющий размерност¹^ длины [L]; 2) плотность жидкости р, имеющая размерность [M/L ]; 3) вязкость жидкости, которая отражается ко­эффициентом р, имеющим размерность [М/ (LT) ]. Следовательно,
и=/(Д,р,р). (1.72)
Так как число характеристик изучаемого процесса равно четы­рем CR,p, [А, и), а число независимыхразмерностей — трем (М, L, Т), то согласно л — теореме возможна лишь одна независимая безраз­мерная комбинация, вытекающая из представления зависимости (1.72) в виде
(1.73)
правой и левой частей этого уравнения:
и=с-Я^арР'цУ (1.72a)
где с, <2, Д у— некоторые безразмерные константы.
Показатели <2, /3, унайдем из условия одинаковых размерностей

откуда у = 1, /3=—1, /^ = —1, и зависимость (1.72а) принимает вид:
“^=срТг- <1.74)
Отсюда получаем искомую безразмерную комбинацию —,
г
или
2u-p-R ₌ 2с = Re
ц «ър» (1.75)
введенную нами ранее (см. раздел 1.6) как число Рейнольдса.
Полученный результат следует понимать и в том смысле, что два различных течения в круглой трубе подобны по режиму движения,
2р_х 'и_х 'R_x
если для них равны безразмерные комбинации: у.—— =
3°2^М2^Л2 _л ^ 2‘U'fiR
= _г. —. Поэтому комбинацию jf—■ = Ке можно рассмат-
f*2 “
ривать как критерий подобия (в частности, допускающий моделиро­вание одного течения другим).
В рамках данного выше определения подобие может устанавливаться:
р~1 применительно к одному и тому же физическому процессу, изучаемому, однако, при различных геометрических характеристиках прототипа и модели (физическое подобие);
I 2 I применительно к процессам различной физиче­ской природы, но описываемых аналогичными физико- математическими закономерностями, выражающими об­щие принципы сохранения массы, энергии, количества движения и т.п. В первом случае говорят о физическом, а во втором — об аналоговом моделировании, которое мо­жет считаться разновидностью математического моде­лирования; к последнему относится и численное модели­рование — исследование дифференциальных уравнений процесса на ЭВМ (в этом последнем варианте моделиро­вание сводится, в конечном счете, к решению систем ал­гебраических уравнений без каких-либо физических па­раллелей с изучаемым процессом).
Простейшим примером физической модели в дина­мике подземных вод является фильтрационный лоток, заполненный тем же фильтрующим материалом, что и изучаемый водоносный комплекс, и характеризующийся теми же геометрическими пропорциями. На такой модели успешно изучались некоторые сложные проблемы дина­мики подземных вод, связанные, в частности, с перемеще­нием границы раздела вод разного состава. Напомним, что и сам закон Дарси был получен, по сути дела, на базе физической модели. Очевидным преимуществом модели­рования в фильтрационном лотке является физическая наглядность, «осязаемость» модели. Кроме того, пред­ставляется, что на такой модели проще всего соблюсти критерии подобия (хотя бы потому, что моделирование ведется в физической среде, идентичной водоносному пласту); оказывается, однако, что часто это совсем не так.
Одним из факторов, определяющих недостатки моде­лирования в фильтрационном лотке, является сильное искажающее влияние капиллярных эффектов. Так, учи­тывая вертикальный масштаб лотка, высота капиллярного поднятия в модели оказывается непропорционально большой в сравнении с природными условиями. Это ме­няет характер напряженного состояния пород в лотке и завышает расход потока в пределах капиллярной каймы. Другой важнейший момент — трудности контроля за од­нородностью модельного грунта или соблюдения иден­тичности в сложении исходного и модельного материала. Наконец, в лотках практически невозможно воспроизво­дить сложные геометрические очертания границ модели­руемого пласта, контактов зон фильтрационной неодно­родности и т.п.
По этой причине физические модели применяются в динамике подземных вод довольно ограниченно: чаще всего их используют на ранних стадиях изучения того или иного процесса — для уяснения качественных физиче­ских представлений о нем и для количественного обосно­вания исходных гипотетических представлений.
Гораздо более широкое распространение получило аналоговое моделирование [6, 7, 14], для чего использо­вались гидравлическая аналогия (подобие фильтрации и движения жидкости в тонких капиллярных трубках), вяз­кожидкостная аналогия (подобие фильтрации и течения вязкой жидкости в тонкой щели) и др. Однако в реальной практике в подавляющем большинстве случаев исполь­зовалось электрическое аналоговое моделирование*, обес­печивающее технически наиболее совершенные модели (доступные, простые и безотказные в работе, позволяю­щие гибко участь различные осложняющие факторы, практически не реагирующие на изменение внешних - температурных и других условий, обеспечивающие высо­кую точность конечного результата).
Электрическое моделирование базируется на подобии фильтрационного потока и электрического поля. Так, сплошные модели из электропроводящей бумаги или растворов электролитов, основанные на электрогидроди- намической аналогии (ЭГДА), широко применялись не­сколько десятилетий. Аналогия в данном случае наиболее ясно выявляется из основных законов движения: закона Дарси