В. А. Мироненко динамика ползших поп московский

Элементы гидродинамики реальной жидкости

В реальной жидкости часть энергии потока должна тратиться на преодоление сил вязкого трения, т.е.
^и1 ^и2 ^hp\ + ^zi ⁺2^^>h_P2^+z2 + 2£’ (1.12)
где точка 1 расположена по течению выше, чем точка 2. Напорная поверхность понижается по направлению дви­жения (линия на рис. 4) тем сильнее, чем больше си­лы трения.
При медленных движениях неравенство (1.12) экви­валентно условияю
#,>Я₂, (1.12а)
т.е. гидростатический напор расходуется на преодоление сил вязкого трения и убывает по направлению движения, или, наоборот, необходимым условием движения жидко­сти является наличие перепада напоров.
ВОПРОСЫ. Куда движется вода на рис 1.5? Почему? В каком положении (1 или 2) одинаковые объемы жидкости V_Q обладают большей энергией?

Рис. 1.5. Схема к оценке изменения энергии фиксированного объема в движущейся жидкости
Проиллюстрируем сказанное на примере простейшей задачи для медленного параллельноструйного течения в круглой трубе (рис. 1.6). Рассмотрим в этом потоке дис­кообразный элемент жидкости радиуса г и толщиной b. Полная энергия жидкости в пределах выделенного объема при его перемещении из положения 1 до положения 2
убывает на величину МЛЯ, где М = я-р-г² *Ъ — масса жидкости; AH^ssH_l — Я₂. Эта потеря энергии обусловлена работой А_тр по преодолению сил вязкого трения f_mp на участке длиной I; согласно закону Ньютона (1.2)
^Атр ~fmp'I ^{= Ъ1}'^Г'^Ъ'¹ ’ (1.13)
так как радиус г направлен перпендикулярно к вектору скорости 77, площадь соприкосновения Q выделенного диска с соседними слоями равна 2я-г-Ъ, а знак минус
указывает, что скорость и падает с удалением от центра трубы: du/dr < 0. Итак, А_тр =M g AH, или

TC’p-r’b'g-AH = 2л-Г’Ь‘1.

Рис. 1.6. Схема к выводу формулы Гагена-Пуазейля
(1.14)
М
М
du

Введем величину градиента напора /, представляю­щую собой изменение напора на единицу длины пути: — дН 81 '
В нашем случае, ввиду неизменности конфигурации потока, величина /остается постоянной вдоль длины /, т.е.
Т A# гг ⁷
/ = -у Тогда
—p'gl'rdr = 2p'du (1.15)
есть дифференциальное уравнение движения, в котором скорость является функцией от г. Для его интегрирования
Рис. 1.7. Распределение ско­рости по поперечному сече­нию трубы

учтем, что на стенке трубы скорость равна нулю, т.е. и/_r-_R-0. Следовательно,
с^R ,°
-p-g'ljо r'dr = 2fil_u(r)du. (_1Л6)
Отсюда
„ -P'S'¹ ./р2_ _гг
^и 4ц '^{Л г}>' (1.17)
т.е. скорость и изменяется в зависимости от г по парабо­лической зависимости (рис. 1.7), причем максимальное значение скорости отмечается вдоль оси трубы (т.е. при г = 0):
„ -P'S'I'R²
4ц ’ (1.17а)
Суммарный расход жидкости Q в трубе определяется как объем тела вращения, разрез которого показан на рис. 1.7:
Q = 2л f_Q и г dr =7ip-gl f₀ (R²-rfr dr # ^{1 R} ;
(1.18)
выражение (1.18) — формула Гагена-Пуазейля.
Среднее значение скорости равно:
и =-Q - ¹ P'S'I'^{r2 ср} ж-R² 8 f¹ (1.19)
т.е. средняя скорость пропорциональна градиенту напора и квадрату радиуса трубы.
Отметим еще один важный в физическом отношении промежуточный результат:
mp _* тр
j _Ш™Р "Ф
(1.20)
('p'g'it'T^'b) ^0
т.е. при параллельноструйном движении градиент напора I пропорционален силам вязкого трения / , приходя­щимся на единицу объема движущейся жидкости.
Формула Гагена-Пуазейля свидетельствует о том, что движение в трубе имеет место при любом градиенте / > О, т.е. при наличии любого сколь-угодно малого перепада напоров между концами трубы. Опыты, однако, показы* вают, что в очень тонких трубках вода начинает переме­щаться лишь при достаточно большом перепаде напоров АН > АН_н> 0. Это объясняется тем, что в тонких капил­лярах вода ведет себя как вязкопластическое тело, обла­дающее некоторым сопротивлением сдвигу. Если величи­ну его, приходящуюся на единицу площади, обозначить через г₀, то закону вязкого трения (1.2а) отвечает закон вязкопластического течения

(1.21)
согласно которому движение возникает лишь при условии I г I > I т₀1, где г — касательное напряжение.
Рассмотрим объем жидкости в тонкой трубке (рис. 1.8). Справа напор равен Я₂, слева Я₁ > Я₂. Тогда равно­действующая гидростатических сил F, приложенных к левому и правому сечениям, равна p-g-(H_l — Я₂)-я- R¹и
направлена слева направо. Движению воды под влиянием силы ^препятствуют силы сопротивления сдвигу, распре­деленные по боковой поверхности, —/_с =r₀-2it R L Та­ким образом, движение жидкости начнется при f_c< F, а условие предельного равновесия имеет вид f_c ~ F.

Рис. 1.8. Схема к определению начального градиента Отсюда получим
« P’g'R ’ (1.22)
где 1_Н — начальный градиент, т.е. минимальный гради­ент, при котором начинается движение.
Согласно экспериментам, для воды x_q «10 ⁴Па [4 ]. Тогда
_2-10~⁶ « R ’
где R выражается в сантиметрах. Для трубки радиусом R * 1 мкм = 10' см (такому радиусу отвечают, кстати/размеры пор в глинистых породах) 1_Н = 0,02, т.е. начальный градиент вполне ощутим. Вместе с тем, величина / сильно мняется с температурой: при росте темпе­ратуры от 15 до 60°С значение T_Q, а следовательно, и начального
градиента падает почти на порядок [4}.

6. 
   О режимах движения
   

Проверка формулы Гагена-Пуазейля на эксперимен­тах с трубками показала, что она дает хорошие результаты лишь в определенном интервале скоростей. В этом интер­вале зависимость и_ср(1) действительно выражается пря­мой линией, проходящей через начало координат, как это и следует из формулы (1.19). Однако при дальнейшем увеличении градиентов скорости_растут медленнее,, и на конечном участке графика w_cp~v7 (рис. 1.9, участок III). Опыты с запуском в поток окрашенных частиц показали, что в диапазоне участка I (см. рис. 1.9) все частицы жидт кости движутся параллельно друг другу, т.е. имеет место параллельноструйное течение, для которого нами и выво­дилась формула Гагена-Пуазейля, а при выходе скоро­стей за границы диапазоне I отмечается перемешивание окрашенных струй и в жидкости возникают вихревые зоны, т.е. основная предпосылка, заложенная в выводе формулы Гагена-Пуазейля, не выполняется.

Режим параллельноструйного движения, отвечающий диапазону I, получил название ламинарного. При лами­нарном движении скорость пропорциональна градиенту гидростатического напо­ра, или, с учетом форму- ^ лы (1.20), силы сопротив- ^ср ления пропорциональ­ны первой степени скоро­сти.
Режим движения, от­вечающий диапазону III, получил название турбу­лентного. При турбулен­тном движении градиент напора и силы сопротив­ления пропорциональны квадрату скорости.
ЗАМЕЧАНИЕ. На опыт- Рис. 1.9. График зависимости сред­них графиках I - /(и) фикси- ^ней скорости течения в трубе от руется некоторая промежу- градиента точная зона //, отвечающая постепенному переходу от ламинарного движения к турбулентному.
Турбулентный режим характеризуется вихревым бес­порядочным движением жидкости с резкими пульсациями скорости в отдельных точках потока по величине и на­правлению. Окрашенная струйка жидкости, введенная в турбулентный поток, быстро теряет форму и перемеши­вается с остальной жидкостью.
Ясно, что математическое описание такой неупорядо­ченной системы является несравненно более трудной за­дачей, чем в случае упорядоченного ламинарного потока. Поэтому проблема турбулентности во многом остается открытой для исследований и по сей день. «Если вода течет неторопливо или когда сочится вязкая жижа вроде меда, то мы прекрасно все умеем. А вот с настоящей, мокрой водой, брызжущей из шланга, справиться мы не в силах» [30].
Если проводить формальную аналогию с ламинарным движени­ем применительно к исходному закону вязкого трения (1.2а), то при турбулентном движении получаем [17}:

(1.23)
где [А_т — динамический коэффициент турбулентной вязкости,
учитывающий пульсацию давления и перемешивание жидкости. Величина его пропорциональна модулю гра- ди
диента скорости .
О.Рейнольдс проводил многочисленные эксперимен­ты в трубках различного сечения и с различными жидко­стями в целях отыскания верхней границы ламинарного режима. Путем сопоставления результатов серий опытов он пришел к выводу, что режимы движения оказываются подобными, если для всей серии выдерживается один и тот же безразмерный параметр

(1.24)
Величина Re, являющаяся, таким образом, критерием подобия течений, впоследствии получила название чис­ла Рейнольдса. Верхней границе ламинарного режима отвечает некоторое критическое число Рейнольдса Re_Kp, составляющее для гладких труб около 2200.
ВОПРОС. Каков будет режим движения воды в круглом капил­ляре диаметром 1 мм при скорости движения 1000 м/сут?
Итак, содержание этого раздела позволяет сделать некоторые предположения о возможных особенностях движения в тонких трубках при не очень высоких скоро­стях:
1 основной характеристикой энергии потока явля­ется гидростатический напор (в дальнейшем — просто напор);
движение носит ламинарный характер;
потери энергии (напора) определяются преиму­щественно силами вязкого трения, причем показателем интенсивности последних может считаться градиент напо­ра;
I 4 I движение имеет место всегда, как только образу­ется перепад напоров; исключением могут являться очень тонкие трубки, в которых движение возникает лишь при превышении градиентом некоторой начальной величины Ij
ЗАМЕЧАНИЕ. Мы пока оставили в стороне рассмотрение еще двух сил — инерционных и упругих, которые представляют дла нас (как это выяснится позднее) ограниченный интерес.
Так как во всех рассмотренных примерах для расчет­ных оценок нами сознательно использовались исходные цифры, характерные для движения подземных вод через поровые каналы, то можно ожидать, что сделанные пред­положения окажутся справедливыми для фильтрации жидкостей в горных породах. Вместе с тем, мы ни в коем случае не можем пока считать эти положения доказанны­ми для подземных вод, так как горная порода лишь очень приблизительно может уподобляться набору тонких ка­пилляров. Последнее станет понятным уже при самом поверхностном анализе геометрической характеристики порового и трещинного пространства в горных породах.

2.