В. А. Мироненко динамика ползших поп московский

с (оо,0) = с® (6.22)
Последнее граничное условие физически эквивален­тно условию отсутствия гидродисперсионного переноса в
^оне с постоянной (исходной) концентрацией с⁰
ff(»,0=О
Введем относительную концентрацию
(6.23)
и получим окончательную математическую формулиров­ку фундаментальной задачи миграции:
^со~^с

д²с д х²
дс , дс ⁿ~bt^+VJlc
D
(6.24)

с (х,0) — 0 (х > 0);
с (0,f) = 1 (f > 0);
_с(оо,0)=0. (6.25)
к
Решение этой задачи [37], формально напоминаю­щей фундаментальную задачу фильтрации (см. раздел 4.1), находится операционным методом (см. раздел 4.2):
с - 0,5 {erfс | + {erfс | ^ , (6.26)
1
х > — п
\
где
У X
D
£ = ^х ~ (^v • А = дс -Н Cv t//i) . с.
2 'fD t f n ’ ¹ ~ 2 ЛсГЛНп'
a erfc(z) — уже использованная нами табличная функ­ция (см. раздел 4.1).
При достаточно больших rj вторым членом в правой части (6.26) можно пренебречь, внося при этом погреш- 0 3
ность е = -jj- [34]. Тогда решение принимает вид
с = 0,5 erf с £. (6.27)
Графическое представление решения (6.27) дается на рис. 6.9,6. На графике выделены три зоны: I — зона вытесняющего раствора, III — зона вытесняемого раство-
ра и II — переходная зона , в пределах которой относи­тельная концентрация меняется от значений, близких к 1, до значений, близких к 0. На рисунке пунктиром показан также график изменения концентрации при поршневом вытеснении, когда дисперсия отсутствует (D = 0). Понят­но, что точка х_п, согласно (6.1), отвечает условию
₌ vt
^х* п (6.28)
и, следовательно, в случае, описываемом решением (6.27), с( х_п) =0,5 erf с (0) =0,5, т.е. точка х_п располагается посредине переходной зоны. Физически это вполне по­нятно: на фоне продвижения фронта поршневого вытес­нения, отвечающего конвекции, развивается дисперсия, приводящая к размыванию фронта, симметричному отно­сительно его расчетного положения х_п.
Размер переходной зоны 2 А х_п можно оценить, услов­но считая ее заключенной между значениями с = £ и с = 1 - е, где е — некоторая малая величина. Например, полагая е =8%, получим с =(х + Ах_п) = 0,08, чему, согласно решению (6.27) и таблице функции erf с Z, отве­чает £ ~ 1,0. Отсюда
х + А х„ — (v/n) t
2 'ГЬ х Тп А= 2 yfDlTn , (6.29)
где половина ширины переходной зоны А х_п может быть
названа величиной «обгона». С учетом формулы (6.15), выражение (6.29) можно записать в следующем виде:
Дх„ = 2 = 2 + Л,) *. = 2 'TCDjnjx^
(6.29а)
откуда
А*„ _ 2
^ХП УРё’ (6.30)
* На первых этапах переходная зона несимметрична относительно точки средней концентрации (см. формулу (6.26)), а расчетное положение фронта х„ несколько сдвинуто относительно нее влево.

— безразмерный критериальный параметр Пекле.
Из выражения (6.30) следует, что при больших зна­чениях Ре (порядка тысяч) наличием переходной зоны - в сравнении с общим продвижением фронта х_п — можно пренебречь. Так как
_P/,-^VXn_ ^V*n ₌ *п
^{D D}M^+d 1^V <*i^v (6.31a)
TO
Ax„ 2 ^
-^^тш^т
и ориентировочно можно полагать, что дисперсией допу­стимо пренебречь при
yf3^/x_n (6.32)
где е — некоторое малое число.
Например, полагая е * 1 %, приходим к условию:
д_х < 0,0001 х_п . (6.32а)
Отсюда сразу видно, что в натурных условиях при переносе на расстояния, измеряемые сотнями метров и километрами, дисперсией в однородных песках можно пренебречь , в то время как в трещиноватых породах это обычно недопустимо; нельзя пренебрегать диспер­сией и при проведении экспериментальных работ (когда расстояния переноса не превышают первых метров - де­сятков метров) — в породах любого типа.

2. 
   Задача о запуске пакета индикатора
   

Рассмотрим возможности распространения фундаментального решения (6.27) на другие виды граничных условий. В этих целях с
Этот вывод не распространяется на поперечную дисперсию.

успехом может использоваться принцип суперпозиции — аналогич­но тому как это делалось в теории фильтрации (см. раздел 4.1).
Пусть [341 на границе х = 0 концентрация индикатора с = 1 поддерживается лишь в течение некоторого времени t_Q, после чего подача индикатора прекращается. График такого «пакетного» запу­ска показан на рис. 6.11а. Легко видеть, что график 1 можно предста­вить в виде суммы двух графиков — первый из которых 1' отвечает непрерывной подаче индикатора с концентрацией с = 1 (начиная с момента t = 0), а второй 1" — подаче индикатора с концентрацией с - -1, начиная с момента t = t_Q. Так как вспомогательные графики Г и Г' отвечают условиям фундаментальной задачи, то при t > t_Q
x-(v/v)A\ -Qjerfc Г ^x~⁽y^/v^^t~^t^ "
с =0,5 erf с
2V{Dln)t
[21Ub/n)(f - Q

(6.33)
Здесь во втором слагаемом, в случае сорбируемого индикатора, значение эффективной пористо­сти п отвечает процессу десорб­ции на заднем фронте индикатора («опресйяющая» волна), причем обычно п < п (десорбируется ве­щества меньше, чем сорбируется).
s~\
График изменения концент­рации в некотором сечении, по­строенный согласно (6.33), пока­зан на рис. 6.11,а. Пользуясь ре­шением (6.33), нетрудно пока­зать, что для несорбируемого ин­дикатора точка максимума кон­центрации х_т перемещается со скоростью x_ma^7 (t — 0,5^, отве­чающей действительной скорости потока.

Рис. 6.11. Характерные графи­ки изменения относительной концентрации при пакетном запуске индикатора: а - во времени; б - в пространстве (1 и 1 - графики относительной кон­центрации в фиктивных источниках)
Графики распределения концентрации на несколько последовательных моментов времени показаны на рис. 6.11,6. Площадь под кривой функции с (х, t) отвечает об­щему количеству индикато­ра в фильтрующем потоке.

Для сорбируемого индикатора, ввиду того, что п'< п, за­дний фронт (точка Хф) постепенно догоняет передний (точка х_ф), и моменту, когда х_ф — х_ф', отвечает полное поглощение индикатора горной породой-

4.