Va tartibli determinantlar va ularni hisoblash usullari

Ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlar. Determinantlarni hisoblash. Determinantlarning asosiy xossalari. Yuqori tartibli determinantlar.

To’rtta sondan iborat

kvadrat jadval ikkinchi tartibli kvadrat matritsa deyiladi.
Ikkinchi tartibli kvadrat matritsaga mos keluvchi ikkinchi tartibli determinant deb quyidagi belgi va tenglik bilan aniqlanuvchi songa aytiladi:

= =4*1-3*2= 4-6=-2
Shunga o’xshash ushbu
=
ifoda uchinchi tartibli determinant deyiladi. Bu ifodaga musbat ishora bilan kiradigan har bir ko’paytma, hamda manfiy ishorali ko’paytmalar ko’paytuvchilarini alohida-alohida punktir chiziqlar yordamida tutashtirib, uchinchi tartibli determinantlarni hisoblash uchun xotirada oson saqlanadigan “uchburchaklar qoidasi”ga ega bo’lamiz (1-shakl).
=2*6*1+1*3*2+5*5*1-5*6*2-1*2*3-5*1*1=12+6+25-60-6-5=-28

Determinant elementining minori deb, shu determinantdan bu element turgan qator va ustunni o’chirish natijasida hosil bo’lgan determinantga aytiladi.

=
Determinant elementining algebraik to’ldiruvchisi
munosabat biln aniqlanadi.
= = (5*1-3*2) = -1(5-6) = -1*(-1) = 1
Determinantlarning xossalari:

1. 
   agar determinantning barcha satrlari mos ustunlari biln almashtirilsa, uning qiymati o’zgarmaydi; =
   

Keyingi xossalrni ta’riflashda satrlar va ustunlarni bir so’z bilan qator deb ataymiz.

2. 
   agar determinant nollardan iborat qatorga ega bo’lsa, uning qiymati nolga teng bo’ladi.
   

=0
agar determinant ikkita bir xil parallel qatorga ega bo’lsa, uning qiymati nolg teng bo’ladi; =0 yoki =0

3. 
   agar determinant ikkita parallel qatorining mos elementlari mutanosib (proportsional) bo’lsa, uning qiymati nolga teng bo’ladi; =0
   
4. 
   biror qator elementlarining umumiy ko’paytuvchisini determinant belgisidan tashqariga chiqarish mumkin; =2
   
5. 
   agar determinant ikkita parallel qatorining o’rinlari almashtirilsa, determinanbt ishorasini qarama-qarshisiga o’zgartiradi; = -
   
6. 
   determinantning qiymati biror qator elementlari bilan shu elementlarga tegishli algebraik to’ldiruvchilari ko’paytmalari yig’indisiga teng. = 2* + 6* + 1*
   

Bu xossa determinantni qator elementlari bo’yicha yoyish deyiladi. Undan determinantlarni hisoblashda foydalaniladi.

7. 
   biror qator elementlari bilan parallel qator mos elementlari algebraik to’ldiruvchilari ko’paytmalarining yig’indisi nolga teng. 2* + 6* + 1* = 0
   
8. 
   agar determinant biror qatorining har bir elementi ikki qo’shiluvchining yig’indisidan iborat bo’lsa, u holda determinant ikki determinant yig’indisiga teng bo’lib, ularning biri tegishli qator birinchi qo’shiluvchilardan, ikkinchisi esa ikkinchi qo’shiluvchilardan iborat bo’ladi. Masalan : =: +:
   
9. 
   agar determinantlarning biror qatori elementlariga parallel qatorning mos elementlarini biror o’zgarmas songa ko’paytirib qo’shilsa, determinantning qiymati o’zgarmaydi. Masalan:
   

=
Berilgan to’g’ri burchakli dekart kordinatlari sistemasida koordinatalari

F (x;y;z)=0 (1)

tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalarning geometrik o’rni sirt deb ataladi. (1) tenglama umuman sirt tenglamasi deb ataladi. Bu tenglama x, y, z o’zgaruvchilarning briga nisbatan yechiladi deb faraz qilamiz. Masalan, u tenglama z ga nisbata yechilishi mumkin bo’lsin, bu holda

z=f (x,y) (2)

deb yozish mumkin, bunda f (x,y) – x,y o’zgaruvchilarning funksiyasidir.

Sirtga berilgan yuqoridagi ta’rifga ko’ra sirt tenglamasi deb uch o’zgaruvchili shunday f(x,y,z)=0 yoki z=f(x,y) tenglamaga aytiladiki, bu tenglamani sirtda yotgan har bir nuqtaning koordinatalari qanoatlantiraladi. Shunday qilib fazodagi nuqtalarning geometrik o’rni deb qaralgan har qanday sirt, bu nuqtalar koordinatalarini o’zaro bog’lovchi (1) tenglama bilan tasvirlanadi.
Aksincha, x; y; z; o’zgaruvchilarni bog’lovchi har qanday (1) tenglama koordinatalari, bu tenglamani qanoatlantiradigan fazodagi nuqtalarning geometrik o’rnini, ya’ni sirtni aniqlaydi.
Fazodagi sirtni tekshirish ikkita asosiy masalani tekshirishga olib kelinadi;

1. 
   Fazodagi biror sirt o’zining umummiy xossasi bilan nuqtalarining geometrik o’rni, deb berilgan. Uning tenglamasini tuzish kerak.
   
2. 
   Fazodagi biror sirtning tenglamasi berilgan. Bu tenglama yordamida uning xossalarini va shaklini tekshirish kerak.
   

To’g’ri burchakli dekart koordinatalari sistemasida o’zgaruvchi x; y; z koordinatalarga nisbatan ikkinchi darajali


Ax²+By²+Cz²+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Kz+L=0 (3)

algebraik tenglama bilan tasvirlangan sirtlar ikkinchi tartibli sirtlar deb ataladi. Bu tenglamada A, B, C, D, E, F koeffisentlarning kamida bittasi noldan farqli bo’lishi kerak.

. Sfera

Ma’lumki fazoda markaz deb ataluvchi 0 (x₁, y₁, z₁) nuqtadan bir xil uzoqlikda joylashgan nuqtalarning geometrik o’rni sfera deb ataladi. Markazdan sferagacha bo’lgan masofa uning radiusi deyiladi. Ta’rifga ko’ra 0(x₁,y₁,z₁) nuqtadan sfera ustidagi ixtiyoriy M (x, y, z) nuqtagacha bo’lgan masofa R radiusi bo’lib, u qo’yidagicha hisoblanadi:.

yoki (x-x₁)²+(y-y₁)²+(z-z₁)²=R² (5). Endi (5) tenglamada qavslarni ochamiz x²+y²+z²-2x₁x-2y₁y-2 z₁z+x₁²+y₁²+z₁²-R²=0. Bu x, y, z koordinatalarga nisbatan ikkinchi darajali tenglamadan iborat.
Misol. x²+y²+z²-2x+4y+6z-2=0 tenglama sfera tenglamasi ekanligini isbotlang. Uning markazi va radiusini toping.