Варианты взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве

Теорема 

---

Если одна прямая лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает 
эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то прямые 
скрещиваются (см. рис. 46). 
Рис. 46. Иллюстрация к теореме 
Для доказательства нужно показать, что данные прямые не лежат в одной 
плоскости. 
Доказательство 
Итак, предположим, что существует плоскость, в которой лежат обе прямые 
(см. рис. 47). 
Рис. 47. Иллюстрация к доказательству 
Тогда эта плоскость проходит через прямую 
и точку , т. е. совпадает с 
первой плоскостью, а значит, и прямая 
лежит в плоскости, которую она 
должна на самом деле пересекать. Получили противоречие. Таким образом, 
прямые не могут лежать в одной плоскости, т. е. они скрещиваются. 
Доказано. 
Теорема 

---

Через одну из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, 
параллельную второй скрещивающейся прямой, и притом только одну (см. 
рис. 48). 
Рис. 48. Иллюстрация к теореме 
Доказательство 
В самом деле, пусть есть две скрещивающихся прямые 
и 
. Через 
точку проходит единственная прямая 
, параллельная прямой 
(см. рис. 
49). 
Рис. 49. Иллюстрация к доказательству 
Две пересекающиеся прямые задают плоскость. Так как 
, лежащей в 
этой плоскости, то 
. Итак, мы построили плоскость, проходящую 
через 
и параллельную 
. 

---

Почему она единственная? Любая другая плоскость, проходящая 
через 
будет пересекаться прямой 
, но тогда, по лемме о параллельных, 
она будет пересекаться и прямой 
. 
Через прямую 
тоже проходит плоскость, параллельная прямой 
. 
Нетрудно увидеть, что эти плоскости будут параллельны друг другу. 
Докажем этот факт от противного. Проведем через 
плоскость, 
параллельную 
(см. рис. 50). 
Рис. 50. Иллюстрация к доказательству 
Если предположить, что она пересечет первую плоскость, то у них будет 
общая прямая. Это прямая не может пересекать 
, иначе плоскость будет 
иметь общую точку с 
, а ведь она ей параллельна. Кроме того, эта прямая 
параллельна самой прямой 
, а следовательно, и 
. Т. е. эта прямая 
параллельна обеим пересекающимся прямым, чего не может быть. 
Таким образом, через каждую из двух скрещивающихся прямых проходят 
плоскости, параллельные друг другу. 
Доказано.