Variatsion hisob asosiy masalasining ba’zi umumlashmalari reja: Kirish. Asosiy qism

h=h(x) ga bog’liq (21) funksional uchun tuzilgan Eyler-Puasson tenglamasiga (14), (15) masala uchun Yakobi tenglamasi deyiladi.
7-t a’ r i f. Agar Yakobi tenglamasi , shartlarni qanoatlantiruvchi trivial (aynan nol) bo’lmagan yechimga ega bo’lsa, nuqta- y⁰(x) joyiz chiziq bo’ylab nuqtaga qo’shma nuqta deyiladi.
7-t e o r e m a. bo’lsin. Agar (14), (15) masalada kuchsiz minimal (maksimal) bo’lsa, quyidagi shartlar bajariladi:
a) Lejandr sharti:
b) Yakobi sharti: intervalda y⁰(x) chiziq bo’ylab nuqtaga qo’shma nuqta mavjud emas.
8-t e o r e m a. Agar:
a) , –ochiq to’plam;
b)
c) joyiz stasionar funksiya;
d) kuchaytirilgan Lejandr sharti bajarilsa: ;
e) kuchaytirilgan Yakobi sharti bajarilsa: oraliqda y⁰(x) chiziq bo’ylab nuqtaga qo’shma nuqta mavjud emas. U holda, y⁰(x) – (14), (15) masalada kuchli lokal minimal (maksimal) bo’ladi.
Endi (14) funksional
(22)
ko’rinishdagi kvadratik funksionaldan iborat bo’lsin. U holda, Yakobi tenglamasi,

ko’rinishda bo’ladi.
9-t e o r e m a. Faraz qilaylik, , bo’lsin. Agar Yakobi sharti bajarilmasa, (22) funksional uchun bo’ladi. Agar kuchaytirilgan Yakobi sharti bajarilsa, (22) funksional uchun yagona joyiz stasionar funksiya mavjud, bu funksiya funksionalga global minimum (maksimum) beradi.
M i s o l.
Bu masalada qatnashayotgan hosilalarning yuqori tartibi n=2 bo’lgani uchun, (20) tenglama,

ko’rinishda yoziladi. bo’lgani uchun, Eyler-Puasson tenglamasi,

ko’rinishida bo’ladi. Uning umumiy yechimi,

Chegaraviy shartlardan

bo’lishi kelib chiqadi. Qaralayotgan masaladagi funksional (22) ko’rinishdagi kvadratik funksionaldir: . Uning uchun Yakobi tenglamasi bo’ladi. Bu tenglamaning umumiy yechimi

uchun shartlardan bo’lishi kelib chiqadi, ya’ni kuchaytirilgan Yakobi sharti bajariladi. – kuchaytirilgan Lejandr sharti ham bajariladi. 9-teoremaga asosan,

funksiya masalaning global yechimidir.