Teorema:
masalada ekstremumning zaruriy sharti). Agar
chegaraviy shartlarni va
chekli bog’lanishlarni qanoatlantiruvchi vektor funksiya ustida
funksional ekstremumga erishsa, funksiyalar
funksional uchun tuzilgan
Eyler tenglamalari sistemasini qanoatlantiradi.
Izohlar:
1. Teoremaga asosan, shartli ekstremumga qo’yilgan
masalani yechish bog’lanishlar qatnashmaganda funksionalning ekstremumini tekshirishga keltiriladi.
2. Bog’lanishlardan qutilishning keltirilgan usuli funksiyalarning shartli ekstremumini topishdagi Lagranj ko’paytuvchilari usuliga o’xshashdir.
3.
bog’lanishlar mexanikada golonom bog’lanishlar deyiladi.
4. Umumiy holda
umumlashgan Lagranj funksiyasidan foydalaniladi. Bunda va
hollar alohida qaraladi.
Masalada shartli ekstremumning zaruriy shartini qo’llash algoritmi
1. Lagranj funksiyasini tuzish;
bu yerda - Lagranj ko’paytuvchilari.
2.
Eyler tenglamalari sistemasi va
bog’lanishlar shartini yozish.
3. Eyler tenglamalari sistemasining umumiy yechimini va Lagranj ko’paytuvchilari uchun ifodalarni topish.
4. o’zgarmaslarni
chegaraviy shartlardan toppish va ekstremal uchun ifoda yozish (ekstremalni yozish).
2-misol. Ushbu
funksionalning
chegaraviy shartlarni va
bog’lanishlarni qanoatlantiradigan ekstremalini toping.
Yechilishi:
1. Lagranj funksiyasini tuzamiz. Modomiki,
ekan,
bo’ladi.
2. Eyler tenglamalari sistemasi va bog’lanishlar tenglamasini yozamiz. Buning uchun
ifodalardan foydalansak, quyidagi
munosabatlarni hosil qilamiz.
3. Sistemaning umumiy yechimini topamiz. Sistemaning birinchi ikkita tenglamasini hadma–had qo’shib,
ekanligini olamiz. Yangi, belgilash kiritib,
tenglamani hosil qilamiz. Uning xarakteristik tenglamasi
bo’lib, u ildizlarga ega ekanligini hisobga olsak,
bo’ladi.
Ikkinchidan, hosil qilingan sistemaning uchinchi tenglamasidan
bo’lishi kelib chiqadi. Ohirgi tenglamalarni qo’shib,
yoki
ekanligini olamiz. U holda
bo’lishi kelib chiqadi.
4. va ixtiyoriy o’zgarmaslarni chegaraviy shartlardan topamiz:
bu yerdan va va .
Shuni e’tirof etish kerakki, masalada chegaraviy shartlar va bog’lanishlar tenglamalari muvofiqlashtirilgan, chunki
Bu faktni masalani yechishdan oldin tekshirish lozim. Shunday qilib, masalada
ekstremal topildi.
Do'stlaringiz bilan baham: |