Vektor fazolar. Chekli va cheksiz o’lchamli fazolar

Chiziqli funksionallar va operatorlar


Vektor fazolar. Chekli va cheksiz o’lchamli fazolar.

V-bo’sh bo’lmagan ixtiyoriy to’plam , R esa R yoki S dan iborat sonli maydon bo’lsin .

Ta’rif:Agar V to’plamning ixtiyoriy ikkita elementi uchun kushish amali va V to’plamning ixtiyoriy elementi bilan R maydonning ixtiyoriy elementlarining ko’paytirish amali aniqlangan bo’lib, quyidagi shartlar bajarilsa:
1. X+Y=Y+X X, Y V
2. X+(Y+Z)=(X+Y)+Z X,Y,Z V
3. V da shunday element mavjudki, har qanday XV uchun X+=X bajariladi.
4. V dagi ixtiyoriy X element uchun unga qarama-qarshi deb nomlanadigan shunday (-X)V element mavjudki , X+(-X)= o’rinli;
5. (+)X=X+X ,  R,  V
6. (X+Y)=X+Y  R,X,YV
7. (X)=()X ,R,XV
8. 1x=x 1 R, XV
u holda V to’plamda Rmaydon ustida vektor fazo deyiladi. R va S maydonlar uchun RS munosabat o’rinli ekanligidan xar bir kompleks vektor fazoni xaqiqiy vektor fazoni xaqiqiy vektor fazosi sifatida qarash mumkin.
Misollar:
1. R va S sonlar maydonining xar biri o’zi ustida vektor fazo bo’ladi. Bundan tashqari S maydonning R maydon ustida vektor fazo ham deb qarash mumkin.
2. Darajasi n(n0) dan katta bo’lmagan haqiqiy (yoki kompleks) koeffistentli bir o’zgaruvchili barcha ko’p hadlar to’plami K_nX haqiqiy (yoki kompleks) vektor fazo bo’ladi.
3. Darajasi 5 ga teng bo’lgan haqiqiy koeffistentli yuir o’zgaruvchili barcha ko’p hadlar to’plami vektor fazo tashkil etmaydi, chunki darajasi 5 gateng bo’lmagan ko’phad bo’lishi mumkin.
4. L₂–fazo
L₂=X=(X₁,X_2…, X_n…)x_i R, ² < }, ya’ni L₂ to’plamning elementlari ² < (1) shartni qanoatlantiruvchi haqiqiy sonlarning ketma-ketliklardan tashkil topgan. Agar bu to’plamda ikkita vektorning yig’indisini X+U=(x₁, x_2, ..., x_n…)+(y₁, y₂, …,y_n…)=(x₁+y₁, x₂+y₂,…, x_n+y_n…) tenglik bilan, vektorni songa ko’paytirish amalini esa x=(x₁,x₂, …,x_n...) tenglik bilan aniqlasak, L₂ to’plam haqiqiy vektor fazo bo’ladi, L₂ to’plamdan olingan ikkita x va u vektorlarning yig’indisi yana shu to’plamga tegishli bo’lishi, ya’ni yig’indi vektorning (1) shartni qanoatlantirishi quydagicha isbotlanadi. X,UL₂ elementlar uchun x+u=(x₁+y₁, x₂+y_2,...,x_n+y_n…) vektorni quramiz. Quyidagi tenglik
(x_i-y_i)²0
Har qanday x_i va y_i xaqiqiy sonlar uchun bajariladi. Bundan
x_i²+y_i²2 x_i y_i
yoki
2x_i²+2y_i²(x_i + y_i)²
kelib chiqadi. Bu tenglikdan foydalanib
ifoda uchun 2( + )
tenglik bajarilishini hosil qilamiz. Demak
<  tengsizlik ham o’rinli bo’ladi, ya’ni x+uL₂ kelib chiqadi.
5. m-fazo, m to’plam chegaralangan barcha ketma-ketliklardan tashkil topgan bo’lsin, ya’ni

{x={x_n}EK_Xx_iK_X }

Bu to’plam ham xuddi yuqoridagidek usul bilan amallarni aniqlasak, uning haqiqiy vektor fazo ekanligini ko’rsatish mumkin.
6. s-fazo. s-to’plam barcha haqiqiy ketma-ketliklardan iborat, ya’ni

S={x={x_n}x_iR}

Bu to’plam yuqoridagi L₂ va m to’plamlar kabi vektor fazo tashkil etadi.
7. S[a,b]-to’plam [a,b] oraliqda uzluksiz bo’lgan haqiqiy (yoki kompleks) o’zgaruvchi li barcha funksiyalardan tashkil topgan. Unda
(f+g)(x)=f(x)+g(x) f,gC[a,b]
( f)(x)= f(x) R(yoki C) fC[a,b]
tengliklar bilan vektorlarni qo’shish va vektorlarni songa ko’paytirish amallarini aniqlasak, vektor fazo ta’rifidagi 1-8 shartlar bajariladi, ya’ni C[a,b] to’plam haqiqiy (yoki kompleks) vektor fazo tashkil etadi.
Vto’plam Rmaydon ustida vektor fazo tashkil etilsin.Agar V fazoning x,u,.....,z vektori uchun kamida bittasi 0 dan farqli bo’lgan ,,...,   R skalyarlar mavjud bo’lib,
x+u+...z=0 (2)
tenglik bajarilsa, u holda x,u,...,z vektorlar sistemasi chiziqli bog’langan, agar (1) tenglik faqatgina barcha skalyarlar ==…==0 bo’lgandagina bajarilsa, bu vektorlar sistemasini chiziqli erkli deyiladi.
Misollar: 1. S to’plam haqiqiy vektor fazo bo’lib, uning
x=2+i
y=-1+3i
vektorlarni chiziqli bog’lanmagandir. Haqiqatdan ham,
x+u=0 , R
ya’ni (2+i)+ (-1+3i)=0 tenglikdan (2-)+(-3) i=0 tenglik kelib chiqadi. Kompleks sonlarning tenglik shartidan foydalanib,
2-=0
-3=0 sistemani hosil qilamiz. Oxirgi sistema faqatgina =0 va =0 trivial echimga ega bo’ladi. Demak x va u vektorlar chiziqli erklidir.
Agar S to’plam o’zi ustida vektor fazo deb qarasak, berilgan x=2+I va y=-1+3i vektorlar chiziqli bog’langan bo’ladi, chunki x+u=0 (2) tenglikni qanoatlantiruvchi  va  lar kompleks son bo’lishini e’tiborga olsak, bu (2) tenglama cheksiz ko’p echimga ega bo’ladi. Masalan =1 bo’lsa, (2+i)-1+3i=0
= yoki = (-1-7i)0 ya’ni =- (2’) tenglamani bitta echimi bo’ladi.
2. K_n[x] vektor fazoning f₁(x)=1, f₂(x)=x, f₃(x)=x², f₄(x)=x³ vektorlari sistemasi chiziqli bog’lanmagan. Haqiqatdan ham,
₁f₁+₂f₂+₃f₃+_nf_n=0 tenglik
₁+₂x+₃x²+₄x³=0 ko’rinishga ega bo’ladi. Ko’phadlarning tenglik shartidan foydalanib, ₁=₂=₃=₄=0 tengliklarni hosil qilamiz. Demak f₁, f₂, f₃, f₄ vektorlar sistemasini chiziqli erklidir. Shunisi e’tiborligi, bu to’plamda ixtiyoriy son nN uchun n ta vektordan iborat chiziqli erkli sistemani ko’rsatish mumkin.
Ta’rif. Agar V to’plam Rmaydon ustida vektor fazo bo’lib, unda n ta vektordan iborat chiziqli erkli sistema mavjud, lekin har qanday n + 1ta vektor sistemasi chiziqli bog’liq bo’lsa, V fazoni no’lchamli vektor fazo deyiladi.
Agar fazoda soni ixtiyoriy bo’lgan chiziqli erkli sistema mavjud bo’lsa, bu qazoni cheksiz o’lchamli deyiladi.
n o’lchamli vektor fazodagi har qanday n ta vektordan iborat chiziqli erkli sistema fazoning bazisi deyiladi.
Misollar. 1. S to’plam o’zi ustida o’lami 1 ga teng bo’lgan fazo bo’ladi, chunki har qanda ikkita vektor chiziqli bog’langan bo’ladi. Uning 0 dan farqli ixtiyoriy elimenti fazoning bazii bo’la oladi. Xuddi shu to’plam haqiqiy sonlar maydoni ustida 2 o’lchamli vektor fazo tashkil etadi. Chunki un dagi x=2+I, u=-1+3i vektorlar sistemasi iziqli erkli va har qanday 3 ta vektordan iborat sistema chiziqli bog’langan bo’ladi.
2.Sa,v -vektor fazodagi f₁(x)=1, f₂(x)=x, f₃(x)=x²,...,f_n(x)=x^n-1,... ko’rinishdagi cheksiz sistemaning chekli ondagi elementlari izili erkli bo’ladi. Shuning uchun bu fazo cheksiz o’lamlidir. Xuddi shuningdek L₂,m,s-fazolarning ham cheksiz o’lchamliligini ko’ratish mumkin.
Cheksiz o’lchamli V vektor fazoda ham bazis tushunchasini kiritish mumkin .G=x_ chiziqli erkli sistema bo’lib, Vning ixtiyoriy xV elementi uchun shunday x₁, x2, ..., x_kG vektorlar sitemasi va ₁, _{2, ...,}_k sonlar topilsaki, ular uchun x=₁ x₁+₂x₂+…+_kx_k tenglik bajarilsa, u holda G fazoning Hamel (Gamel) bazisi deyiladi. Ixtiyoriy vektor fazoda Hamel bazisi mavjudligini ko’rsatish mumkin.
Agar L to’plam V vektor fazoning qism to’plami bo’lib, L to’plamning o’zi ham V fazodagi vektorlarni qo’shish va R maydoning elementi bilan V fazoning vektorini ko’paytirish amallariga nisbatan vektor fazo tashkil etsa, u holda L to’plamni V fazoning qism fazosi deyiladi. V to’plam R maydoni ustida chiziqli fazo bo’lib, SV, S0 shartlar bajarilsin. U holda S to’plamni o’z ichiga olgan eng kichik qism fazo L ni S ning chiziqli qobig’i deyiladi. Uning ixtiyoriy elementi x ni quyidagicha yozish mumkin:
_I a_i _iS, _i1
Bunday holda, L=[S] ko’rinishda belgilanadi va L ni S bilan hosil qilingan qism fazo deyiladi. Ba’zi hollarda [S]=V bo’lishi ham mumkin. Agar S chiziqli erkli vektorlar sistemasidan iborat bo’lib, [S]=V tenglik bajarilsa, u holda S Hamel bazisi bo’ladi.
Agar V¹ to’plam V fazoning qism fazosi bo’lsa, V fazodan olingan x va u vektorlar uchun x-uV¹ shart bajarilganda bu x, u elementlarning ekvivalent deb atasak, u holda bu munosabat ekvivalentlik munosabatini tashkil etadi. Bu ekvivalentlik munosabati bo’yicha qurilgan barcha ekvivalentlik sinflari to’plamini V / V¹ ko’rinishda belgilanadi V/V¹ to’plamga tegishli bo’lgan 2 ta A va V sinflarning yig’indisini aniqlaymiz. Buning uchun A va V sinflardan ixtiyoriy xA, uV elementlarni olib ularning yig’indisi x+u elementni o’z ichiga olgan sinf S ni A va V sinflarning yig’indisi deb qabul qilamiz, ya’ni A+V=S
Bu amal A va V sinflardan olingan x va u elementlarning tanlanishiga bog’liq emasligini isbotlash mumkin. Xuddi shuningdek, A sinfdan olingan ixtiyoriy x element bilan R sonning ko’paytmasi x elementni o’z ichiga oluvchi sinfni A sinfni  ga ko’paytmasi deb qabul qilamiz. U holda V/V¹ to’plam aniqlangan amallarga nisbatan vektor fazo tashkil etadi. Bu fazoni V ning V¹ qism fazosi bo’yicha vektor fazosi deyiladi va uning o’lami V¹ fazoning o’lchami (qo’shimcha o’lchami) deyiladi.
Agar {V}I bir necha vektor fazolar bo’lsa, ularning dekart ko’paytmasi bo’lsin V=^v_ to’plamda ham V dagi amallardan foydalanib vektorlarni qo’shish va songa ko’paytirish amallarini aniqlash mumkin. Bu to’plam ham vektor fazo tashkil etib, uni berilgan fazolarning to’g’ri ko’paytmasi deyiladi.