Vektor ken’islik tu’sinigi

1-Misol. a(3; 6) va b(5; -2) vektorlarning skalyar ko‘paytmasini toping.
Yechish: a va b vеktorlarning skalyar ko‘paytmasi ularning mos koordinatalari ko‘paytmalarining yig‘indisiga tеngligidan, a • b = хх' + уу' = 3 • 5 + 6 • (-2) = 3
kelib chiqadi. Demak, berilgan a va b vеktorlarning skalyar ko‘paytmasi 3 ga teng bo‘ladi.


44





2-Misol. Koordinatalari bilan berilgan quyidagi X(4; 3) va b(1; 7) vektorlar orasidagi ^ burchakni toping.
Yechish: X va b vеktorlarning orasidagi ^ burchakni topish formulasidan,


xx' + yy'


4-1 + 3-7


25


COS^ = , . = , : _r = Z=
■^X² + y² - ^x'² + y'² V16 + 9 - V1 + 49 5 - 5V2


2


2


V2
Cosy = — kelib chiqadi, hamda a va b vеktorlarning orasidagi burchak
Ф = - ni tashkil qiladi.

1. 
   Vektorning vektor va aralash ko‘paytmasi.
   

Ikki vektor a va b ning vektor ko‘paytmasi deb quyidagi xossalarga ega bo‘lgan C vektorga aytiladi:
1. C vektorning uzunligi a va b vektorlardan yasalgan parallelogrammning yuziga teng, ya’ni


|C| = |a| - |bj sin^


(v = a^Ab)


(4.7)


2. c vektor shu parallelogramm tekisligiga perpendikulyar, ya’ni u ham a vektorga, ham b vektorga perpendikulyardir:


a - C = 0 va b - c = 0

1. 
   a,b,c vektorlar ko‘rsatilgan tartibda olinganda vektorlarning o‘ng uchligini tashkil etadi.
   

Fazoda berilgan


a(x;y;z), b(x';y';z')


vektorlar uchun


y z


X


% y


}


z' ; z'


y^'


(4.9)


yoki


I J K
X y z
^' ,-,'
X y z


(4.10)


45

tenglik o‘rinli. Fazoda uch vektorning aralash ko‘paytmasi deb, birinchi ikki vektorning vektor ko‘paytmasiga uchinchi vektorni skalyar ko‘paytirishga aytiladi. abc — [a, b]c (4.11) T-l 1 -» Z X 7* Z / / /X ->Z // // //X 1 j 1 ТчП'Т/лЯо di V Л7" 'гЛ l'y Í Ат'' 'г'Л Л7О Л* Í Л/ ’• at'' ■ *~7 ’ Л 1 ОГ razoda a^y/z), b(x fy fz ) va с(л fy fz ) vektorlar koordinatalar bilan berilgan bo‘lsin. Ularning aralash ko‘paytmasi formulasini keltirib chiqaraylik. Buning uchun a va b vektorlarni vektor ko‘paytiramiz. [a, b] = ï J X y x' y' —> к z z^' bu vektor ko‘paytmani esa c(x'';y'';z'') vektorga skalyar ko‘paytiramiz va [a, b] • c ï J X y x' y' —> к z z^' ■(x''ï+y''j+z''k) =. = (ly' z'\^t-\x' z'\ï+\x' ^y'\^k)(x''ï + y''j + ^z''^k) = \ y ^z Ж z Л, y / --( z z^' x'' - '' X z y'' + z")^- x'' x' X x' y z y” z” y' z'	X	y	z
—	X'	y'	z’
	''	''	''
	X	y	z

x'' y'' z'' x y z — x’ y' z' (4.12) X z X hosil bo‘ladi. 3-Misol. a(1;-3;4) va b(3;-4;2) vеktоrlarning vektor ko‘paytmasini toping. Yechish: Yuqorida berilgan (4.10) formuladan foydalanib, ^к 4 ^— ( 2 [a, b] — 1 J -3 -4 ^-3 4		1 4		1 — 3
-4 2	i -	3 2	7 +	3 -4

^{k) —}


i


3


46





= 10í+107+5fc c(10; 10; 5) vektorning koordinatasini topdik.
4-Misol. a(3;-4; 2), b(-1;2;5) va c(2; 3;-4) vektorlarning aralash ko‘paytmasini toping.
Yechish: Yuqorida berilgan (4.12) formuladan foydalanib,


[a, ¿>] • c =


2


X y z %' y' z'
x" y'' z''


3 -4


-1


3 -4


2


2


5


= -24 - 6 - 40 - 8 - 45 + 16 = -107


ya’ni, a, b va c vektorlarning aralash ko‘paytmasi -107 ga teng ekan.