Vektоr maydоnlar Ta`rif. Har bir m nuqtasiga birоr

Solenoidli naychasimon maydonlar

4-ta’rif. a(M ) vektor maydonning divergensiyasi ω sohaning har bir nuqtasida

nolga teng, ya’ni div a(M )  0

bo’lsa, u holda bu vektor maydon shu sohada solenoidli (yoki naychasimon) maydon deyiladi.

Solenoidli maydon uchun Ostrogradskiy formulasiga ko’ra

		(2.11)
 ^a^ ^n0	 d  0


bo’ladi, bunda σ-yopiq sirt bo’lib, ω sohani chegaralovchi tashqi normal yo’nalishidagi oriyentirlangan. Bu maydonda biror σ o yuzchani olamiz va uning chegarasini har bir nuqtasidan vektor chiziqlar o’tkazamiz (6-chizma). Bu chiziqlar fazoning vektor naycha


deb ataluvchi qismini chegaralaydi. Agar a(M ) vektor oqayotgan suyuqlikning tezliklari

maydonini tashkil etsa u holda suyuqlik oqishi davomida bunday naycha bo’ylab uni kesib o’tmasdan harakatlanadi.

σ yuzcha, biror σ1 kesim va naychaning σ yon sirti bilan chegaralangan naychaning biror qismini qaraymiz. (2.11) tenglik bunday yopiq sirt uchun

				(2.12)
 ^a^ ^n0	 d   a n0	 d  a n0	 d  0
0	1	


ko’rinishni oladi, bunda n₀ -tashqi noqmal bo’yicha yo’nalgan birlik vektor.

6-chizma.


Naychaning yon sirti σ da normallar a vektor maydonga perpendikulyar bo’lgani uchun
 
a n₀ =0

bo’ladi va (2.12) tenglikdagi uchinchi qo’shiluvchi nolga teng:



• 
  a n₀  d  0.
  

Shuning uchun (2.12) formuladan
   
 a n₀  d   a n₀  d  0.
₀ ₁

yoki		
	 ^a^ ^n0	 d  a n0	 d
	0	1

tenglikka ega bo’lamiz. σ0 yuzadagi normalning yo’nalishini tashqaridan ichkariga almashtirib
   
 a n₀  d   a n₀  d
₀ ₁

munosanatni hosil qilamiz. Bu solenoidli maydonda vektor naychaning har bir qismidan o’tkazilgan vektor chiziqlar yo’nalishidagi vektorlar oqimi bir xil bo’lishini, ya’ni


manbasiz va qurdumsiz maydonda (chunki div a (M )  0 ) vektor naychaning har bir keismidan bir xil miqdorda suyuqlik oqib o’tishini anglatadi.


2.5. Vektor maydondagi chiziqli integral. Kuch maydoni bajargan ish. Vektor
maydon sirkulyatsiyasi
Faraz qilaylik, 0xyz fazoning ω sohasida
   
a(M )  P(x, y, z) i  Q(x, y, z) j  R(x, y, z) k

vektor maydon berilgan bo’lsin. Bu sohada biror L egri chiziq olib unga ma’lum yo’nalish tayinlaymiz.

5-ta’rif. Yo’nalgan L chiziq bo’yicha olingan ushbu
 P(x, y, z)dx  Q(x, y, z)dy  R(x, y, z)dz
L
ikkinchi tur egri chiziqli integral yoki vektor shaklidagi
 
_ a d r
L

integral a(M ) vektorning L chiziq bo’yicha olingan chiziqli integrali deyiladi, bunda

					
		d r	 dx i  dy j		 dz k.
Agar		kuch maydonni ifodalasa,			vektorning L chiziq bo’yicha chiziqli
	a(M )			a

integrali ma’lum yo’nalishda L chiziq bo’yicha bajarilgan ishni ifodalaydi.
6-ta’rif. Yopiq L kontur bo’yicha chiziqli integral vektor sirkulyatsiyasi deyiladi va Ц bilan belgilanadi, ya’ni

• 
  
  

  a d r.


L
Vektor maydon uyurmasi (rotori).


Охуz fazoning  sohasida



vektor maydon berilgan bo’lsin, bunda P,Q, R funksiyalar  sohada differensiallanuvchi.


1-ta‘rif. Ох,Оу,Оz

o’qlarda mos ravishda	дR		дQ	,	дР		дR	,	дQ		дР
	ду		дz		дz		дx		дх		ду

proeksiyalarga ega bo’lgan vector   vektor maydonning uyurmasi (yoki rotori) deb ataladi va rot bilan belgilanadi, bunda xususiy hosilalar (x, y, z) nuqtada hisoblanadi.

Demak ta‘rifga binoan:



дR

дQ 

 дР

дR 



дQ

rot   



i 





j 





ду



 дz

дx 



дх



дz 



^{дР } . (3.1)
 k


ду _^
Uyurma tushunchasidan foydalanib Stoks formulasini vektor shaklida
  (3.2)

kabi yozish mumkin.

Uyurma quyidagi xossalarga ega:

1. 
   rot(   )  rot   rot  ;
   

2. 
   rot( )  rot , bunda C-o’zgarmas son.
   

3. 
   rot(u )  urot   (gradu)    bunda u  u(~) skalyar maydon funksiyasi.
   

1-misol. Ushbu

  (~)z⁴ x⁴ y⁴ 

vektor maydonning uyurmasi topilsin.

Yechish. Р  z⁴ , Q  x⁴ , R  y⁴ ga egamiz. Hususiy hosilalarni topamiz.

дR



дQ

 4 y^3 ,

дР



дR

 4z^3 ,

дQ



др

 4х^3.

дy

дz

дz

дх

дх

ду

Demak, (3.1) ga asosan

rot   4 y^3   4z^3

   4x^3   .

Chiziqli integralning integrallash yo’liga bog’liq bo’lmasligi shartlari Faraz qilaylik Охуz fazodagi  sohada

  (~)=P(х, у, z)dx  Q(х, у, z)dy  R(х, у, z)dz

vektor maydon berilgan bo’lsin, bunda P,Q, R funksiyalar  sohada differensiallanuvchi.

A va B nuqtalar  sohaning ikkita ixtiyoriy har xil nuqtalari bo’lsin. Bu nuqtalarni tutashtiruvchi turli egri chiziqlarni qarab chiqamiz (8-chizma)

Agar

 P(х, у, z)dx  Q(х, у, z)dy  R(х, у, z)dz

(3.2)

l

chiziqli integral bu yo’llarning barchasi bo’yicha aynan bir xil qiymatlar qabul qilsa, u integrallash yo’liga bog’liq bo’lmaydi deyiladi.

3.1-teorema. (3.2) chiziqli integral  sohada integrallash yo’liga bog’liq bo’lmasligi uchun bu sohada yotgan istalgan yopiq kontur bo’yicha olingan chiziqli integral nolga teng bo’lishi zarur va yetarlidir.


Isboti. Faraz qilaylik,  sohada yotuvchi istalgan L yopiq kontur uchun _ Pdx  Qdy  Rdz  0 bo’lsin. Bu holda chiziqli integralni integrallash yo’liga bog’liq

АmВ nА yopiq kontur bo’yicha

bo’lmasligini ko’rsatamiz.

• 
  sohaga tegishli А va В nuqtalarni olib ularni shu soqada yotuvchi ikkita АmВ va АnВ egri chiziqlar bilan tutashtiramiz (9-chizma) .
  

АmВ va АnВ yoylar АmВ nВ yopiq konturni hosil
qiladi.
Shartga ko’ra

• 
  Pdx  Qdy  Rdz  0 .
  

АтВnА

Buni egri chiziqli integralning xossalaridan foydalanib

• 
  Pdx  Qdy  Rdz   Pdx  Qdy  Rdz  0
  

АтВ ВnA

yoki

• 
  Pdx  Qdy  Rdz   Pdx  Qdy  Rdz  0
  

АтВ ВnА

ko’rinishda yozamiz. Oxirgi tenglikdan

• 
  Pdx  Qdy  Rdz   Pdx  Qdy  Rdz
  

АтВ АnВ

ekani, ya‘ni chiziqli integralning integrallash yo’liga bog’liq bo’lmasligi kelib chiqadi. Zarurligi. Faraz qilaylik  fazoda chiziqli integral integrallash yo’liga bog’liq

bo’lmasin, ya‘ni

• 
  Pdx  Qdy  Rdz   Pdx  Qdy  Rdz
  

АтВ АnВ

bo’lsin. U holda

• 
  Pdx  Qdy  Rdz   Pdx  Qdy  Rdz  0 ,
  

АтВ АnВ

• 
  Pdx  Qdy  Rdz   Pdx  Qdy  Rdz  0 ,
  

АтВ ВnA

• 
  Pdx  Qdy  Rdz  0
  

АmВnА

tenglikka ega bo’lamiz. Bu tenglik istalgan yopiq olingan chiziqli integral nolga tengligini ko’rsatadi.

Endi chiziqli integralni integrallash yo’liga bog’liq bo’lish-bo’lmasligini tekshirishni osonlashtiruvchi teoremani isbotsiz keltiramiz.

3.2-teorema. Ushbu

• 
  Pdx  Qdy  Rdz
  

L
chiziqli integral bir bog’lamli (ichida bo’shliq bo’lmagan) sohada integrallash yo’liga bog’liq bo’lmasligi uchun shu sohaning har bir nuqtasida

дR		дQ	,	дP		дR	,	дQ		дP	(3.3)
ду		дz		дz		дx		дx		ду

munosabat bajarilishi zarur va yetarli.


2-misol. Ushbu
 (2xy  z ² )dx  (x²  z)dy  ( y  2xz)dzL
chiziqli integral integrallash yo’liga bog’liq bo’lish-bo’lmasligini aniqlang.


Yechish. P  2xy  z ² , Q  x²  z, R  y  2xz ga egamiz.

(3.3) shartlarni bajarilish-bajarilmasligini aniqlash uchun xususiy hosilalarni topamiz:

дR	 1,	дQ	 1,	дP	 2z,	дR	 2z,	дQ	 2x,	дP	 2x .
ду		дz		дz		дx		дx		ду

(3.3) shartlarning bajarilishi ko’rinib turibdi. Demak berilgan chiziqli integral integrallash yo’liga bog’liq bo’lmaydi.