Vektor tushunchasi va vektorlarning tengligi

Teorema. vektorning u o’qdagi proyeksiyasi shu vektor uzunligini, shu vektor bilan u o’q orasidagi  burchak kosinus ko’paytmasiga teng bo’ladi:
Pr _u =| |cos



B B
b
A  C A 
__________________ u O C u
A₁ B₁
chizmadan: |AС|=| |cos=| |cos, |AC|=|A₁B | ,
pr_u =| |=| |=| |cos => pr_u =| |cos.
Agar  burchak o’tkir bo’lsa proyeksiya musbat,  burchak o’tmas bo’lsa, proyeksiya manfiy bo’ladi. Bizga = va vektorlar berilgan bo’lsa,
Pr_a =| |cos, Pr_b =| |cos tengliklarning o’rinli ekanliklarini ko’rsatish mumkin.
Vektor koordinatalari deganda vektorning uchi bilan boshining bir xil koordinatalari ayirmalariga shu vektorning koordinatalari deyiladi va quyidagicha yoziladi
={x₂-x₁; y₂-y₁}
Vektor koordinatalar kvadratlarining yig’indisidan olingan kvadrat ildizga vektor uzunligi deyiladi.

4. Chiziqli bog’liqli va chiziqli bog’liqsiz vektorlar.

1-ta’rif. Agar _{1 1}+ _{2 2}+ ... + _{n n}=0 (1) ₁, ₂,..., _n larning hammasi bir paytda nolga teng bo’lmagan holda o’rinli bo’lsa , u holda _{1, 2, . . . , n} vektorlarga chiziqli bog’liqli vektorlar deyiladi.


2-ta’rif. Agar (1) tenglik faqat ₁=₂=...=_n =0 bo’lganda o’rinli bo’lsa, u holda _{1, 2, . . . , n} vektorlarga chiziqli bog’liqsiz vektorlar deyiladi.
Тekislikdagi har qanday ikkita vektorning chiziqli bog’liqli bo’lishi uchun ularning kollinear vektorlar bo’lishi zarur va kifoya. Fazodagi har qanday uchta vektorning chiziqli bog’liqli bo’lishi uchun , ularning komplanar vektorlar bo’lishi shart.
Тekislikdagi har qanday ikkita vektorning va fazodagi har qanday uchta vektorning chiziqli bog’liksiz vektorlar bo’lishi uchun ularning mos ravishda kollinear va komplanar vektorlar bo’lmasliklari zarur va kifoya.

5. Vektorni bazislar bo’yicha yoyish.

1-ta’rif. Тekislikdagi bazis deb ikkita kollinear bo’lmagan, ya’ni chiziqli bog’liqsiz _{1, 2} vektorlarga aytiladi.
1-teorema. Тekislikdagi biror vektorning ₁ va ₂ bazislar orqali yoyilmasi ko’rinishda bo’lib, yagona bo’ladi.
2-ta’rif. Fazodagi bazis deb, undagi har qanday uchta komplanar bo’lmagan, ya’ni chiziqli bog’liqsiz bo’lgan vektorlarga aytiladi.
2-teorema. Fazodagi biror vektorning bazislar orqali yoyilmasi
=_{1 1}+ _{2 2}+_{3 3} (2)
ko’rinishda bo’lib, yagona bo’ladi.
Endi dekart koordinata sistemasidagi bazis va ular bo’yicha vektorlarni yoyishni ko’raylik. Dekart koordinata sistemasida Ox, Oy, Oz o’qlar yo’nalishida mos ravishda uzunliklari birga teng bo’lgan vektorlarni | |=| |=| |=1 olaylik. Uzunliklari birga teng bo’lgan vektorlarga birlik vektor yoki ort deyiladi. Bu vektorlar o’zaro perpendikulyar bo’lib komplanar bo’lmagani uchun, ya’ni chiziqli bog’liqsiz vektorlar bo’lgani uchun bazislarni tashkil qiladi. Shuning uchun ularga dekart ortogonal bazislar deyiladi.

z E
va ; va ; va vektorlarning A
kollinear vektorlar ekanligini e’tiborga olsak
=₁ ; =₂ ; =₃ kelib chiqadi
=₁ + ₂ +₃ vektorning koordinata O D y
o’qlaridagi proyeksiyalarini mos ravishda
x B C
pr_Ox = _x= ₁ , pr_Ou = _y= ₂ , pr_Oz = _z= ₃ desak
=a_x + a_y +a_z formula kelib chiqadi.
Agar vektorning koordinata o’qlaridagi proyeksiyalarini x,y,z desak,
=x +y +z yoki ={x,y,z},
=(x₂-x₁) + (y₂-y₁) +(z₂-z₁) yoki = {x₂-x_1,y₂-y_1,z₂-z₁}
ko’rinishlarda ham yozish mumkin.

Vektorlarning yo’naltiruvchi kosinuslari.

={x,y,z} vektor Ox,Oy,Oz koordinata o’qlari bilan mos ravishda burchaklar tashkil qilsin.
vektorning koordinata o’qlari bilan hosil qilgan burchaklar kosinuslariga ya’ni cos ,cos,cos larga vektorning yo’naltiruvchi kosinuslari deyiladi.
Proyeksiyalash qoidalaridan foydalansak chizmadan ko’rinadiki
x=a_x=pr_Ox =| |cos ,

z


 y


x


y=a_y=pr_OU =| |cos
z=a_z=pr_Oz =| |cos
Misol. A(1,2,3) V(2,4,5) bo’lsa, = vektorning yo’naltiruvchi kosinuslarini toping.
Yechish. ={1;2;2} , | |=3 , cos=1/3 ; cos=2/3 ; cos=2/3.