Vektorlar nazariyasiga doir mashqlar. Tekislikdagi to‘g‘ri chiziq. Vektorlar ustida amallar

Tekislikdagi to‘g‘ri chiziq
To‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasi: . (1)
To‘g‘ri chiziqning burchak koeffisientli tenglamasi: (2)
k=tgα-burchak koeffisient, α – to‘g‘ri chiziqning ОХ o‘qi musbat yo‘nalishi bilan hosil qilgan burchak .
To‘g‘ri chiziqning kesmalar bo‘yicha tenglamasi
. (3)
Ikki to‘g‘ri chiziq orasidagi burchak
(4)
ularning parallelik va perpendikulyarlik shartlaridan iborat. Agarda tekislikda nuqta berilgan bo‘lsa , u holda
(5)
tenglama to‘g‘ri chiziqlar dastasini ifodalaydi.
Ikki , nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi esa
(6)
ko‘rinishga ega. Nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa quyidagi
(7)
formuladan foydalanib topiladi. Tekislikda bir to‘g‘ri chiziqda yotmagan uchta nuqta berilgan bo‘lsin, ularda yasalgan uchburchakning yuzi quyidagicha topiladi.
(8)
3- mashq:ABC uchburchak uchlarining koordinatalari berilgan: А(1;-3), В(0;7), С(-2;4).Topish kerak:
a) AB tomon tenglamasini;
b) CD- balandlik tenglamasini;
c) AM- mediana tenglamasini;
d) AM mediana va CD balandlikning kesishish nuqtasi koordinatalarini;
e) C uchidan o‘tib AB tomonga parallel to‘g‘ri chiziq tenglamasini.
Yechish:

1. 
   (6) formuladan foydalanib, AB tomon tenglamasini yozamiz: А(1;-3), В(0;7)
   

; ;
bundan, 10х-10=-у-3, 10х+у-10+3=0, 10х+у-7=0;
yoki, у=-10х+7 bu yerda, k_АВ=^-10.
b) CD balandlik tenglamasini tuzish uchun (5) formuladan foydalanib, C(-2,4) nuqtadan o‘tib AB ga perpendikulyar tenglamani yozamiz:
, ,
demak, , 10у-40=х+2
yoki, .
c) AM mediana tenglamasini chiqarish uchun avvalo kesma o‘rtasi nuqtaning koordinatalarini topamiz:
, , demak, .
U holda , , , ,
yoki, - AM mediana tenglamasi.
d) АМ meidianava CD balandlik kesishish nuqtasini topish uchun ularning tenglamalarini birgalikda yechamiz:
,
e) Avvalo, (5) formuladan foydalanib, С(-2;4) nuqtadan o‘tuvchi tenglamani tuzamiz:
y-y₀=k(x-x₀) yoki, y-4=k(x+2).k_C=k_AB parallellik shartidan
va k_АВ=^-10 ligidan, y-4=10(x+2), y-4=-10x-20
yoki , 10x+y+16=0 –izlangan to‘g‘ri chiziq tenglamasi.