Vektorlar nazariyasiga doir mashqlar. Tekislikdagi to‘g‘ri chiziq. Vektorlar ustida amallar

Mavzu: Vektorlar nazariyasi hamda ularning tadbiqlari
Reja:

1. 
   Vektorlar nazariyasiga doir mashqlar.
   
2. 
   Tekislikdagi to‘g‘ri chiziq.
   
3. 
   Vektorlar ustida amallar .
   

Ikkinchi topshiriqni bajarish uchun avvalo quyidagi mashqning yechilish usuli bilan tanishib chiqish tavsiya etiladi.
mashq. Piramidaning uchlari A(2;1;0), B(3; -1;2), C(13;3;10) va D(0;1;4) berilgan.

1. 
   , va vektorlar dekart bazislari i, j, k vektorlar orqali yozilsin va ularning uzunliklari topilsin.
   
2. 
   va vektorlar orasidagi burchak topilsin.
   
3. 
   ABC yoqning yuzi topilsin.
   
4. 
   ABCD piramidaning qajmi topilsin.
   

Yechilishi:
1. Istalgan vektoр ortlar orqali
(1)
ko‘rinishda tasvirlanadi, bu yerda, а_х, а_у, а_z lar vektorning ОХ, ОУ, OZ o‘qlardagi proyeksiyalari. Boshi М₁ (х₁, у₁, z₁), oxiri М₂ (х₂, у₂, z₂ ) nuqtada bo‘lgan vektor
(2)
yoyilmaga ega bo‘ladi.
(2) ga A va B nuqtalarning koordinatalarini qo‘yib, vektorni topamiz:
.
Shuningdek, (2) ga A va C nuqtalarning koordinatalarini qo‘yib, vektorni topamiz:

Shunga o‘xshash, vektorni topamiz:

1. 
   yoyilma orqali berilgan vektorning uzunligi
   

(3)
formula yordamida topiladi.
(3) formulaga asosan vektorlarning uzunliklarini topamiz:
,
,
,
2. ва vektorlar orasidagi burchak
(4)
formula yordamida topiladi.
(4) ga va vektorlarning koordinatalarini qo‘yib, ular orasidagi burchakni aniqlaymiz:

bu yerdan, ¹;
3. ABC yoqning yuzi va vektorlarda yasalgan parallellogramm yuzining yarmiga teng. Vektorlarning vektorli ko‘paytmasiga binoan parallellogrammning yuzi va larning vektorli ko‘paytmasiga teng. Shuning uchun,
(5) bo‘ladi.
Ma’lumki, va
vektorlarning vektorli ko‘paytmasi
(6)
formula yordamida topiladi. Shunga ko‘ra,

Demak,
(5) ga asosan,
4. Uchta nokomplanar vektorlarni qirra hisoblab, ularda yasalgan parallelepipedning hajmi shu vektorlarni aralash ko‘paytmasining absolyut qiymatiga teng.
, va
vektorlarning aralash ko‘paytmasi
(7)
formula yordamida hisoblanadi.Shunga asosan:



Shunday qilib,


kub birlik.
Maktab matematika kursidan ma’lumki, ABCD piramidaning hajmi , va vektorlarda yasalgan parallelepiped hajmining qismiga teng.
Shunga ko‘ra,
V_piramida= V_paral= .144=24 kub birlik bo‘ladi.