Vektorlar. Ular ustida chiziqli amallar 1-misol
Download 469.11 Kb. Pdf ko'rish
|
3-mavzu
- Bu sahifa navigatsiya:
- 2-misol. b a b a − = +
- 4-misol
- 6-misol.
- 7-misol.
|
VEKTORLAR. ULAR USTIDA CHIZIQLI AMALLAR 1-misol. ABC uchburchak berilgan bo’lib, b AC a AB = = , va BC tomoni o’rtasida joylashgan M nuqta ma’lum bo’lsa, u holda AM vektorni a va
vektorlar orqali ifodalang. M nuqtadan AB va AC tomonlarga nisbatan parallel to’g’ri chiziqlar o’tkazamiz. Natijada dioganali AM bo’lgan AB 1
1 parallelogrammni hosil qilamiz. Bundan 1 1 AC AB AM + = B 1
1
1 1 1 1 , = = u holda 2 , 2 1 1
AC a AB = = . Bulardan quyidagiga ega bo’lamiz ( ) b a b a AM + = + = 2 1 2 2 . ⚫
2-misol. b a b a − = + tenglik o’rinli bo’lishi uchun nol vektor bo’lmagan a va
b vektorlar qanday shartlarni qanoatlantirishi kerak?
parallelogrammni tuzamiz. U holda
− = + = , b a b a − = + bu tenglik hosil qilingan parallelogrammning dioganallari tengligini anglatadi, ya’ni OD AB = . Bundan berilgan parallelogramm to’g’ri to’rtburchakligini aniqlaymiz. Shu bilan birga a va b vektorlar perpendikulyar ekan. ⚫
− = 3 2 va b a d + − = 6 3 vektorlar o’zaro kollenearmi? Proyeksiyaning asosiy xossalari: 1) ( )
a b a l l l пр пр пр + = + ; 2)
( )
a l l пр пр = . Agar
k j i , , -lar Oxyz koordinatalar sistemasining ortlar bo’lsa, u holda ixtiyoriy a vektorni k a j a i a a z y x + + = ko’rinishda ifodalanishda ifodalash mumkin. Bunda y x a a , va
z a
koeffitsiyentlarning chiziqli kombinatsiyasiga a vektorning j i , va
k bazisidagi vektor koordinatalari deyiladi. ( ) z y x a a a a ; ; = kabi belgilanadi. a vektorning uzunligi: 2 2
z y x a a a a + + = .
vektor kooordinatalar o’qlari Ox, Oy va Oz bilan mos ravishda , va burchaklar tashkil qiladi. a vektorning yo’nalishi uning yo’naltiruvchi kosinuslari: a a x = cos ,
a y = cos ,
a z = cos . Yo’naltiruvchi kosinuslar uchun quyidagi ayniyat o’rinli: 1 cos
cos cos
2 2 2 = + + .
( ) z y x a a a a ; ; = va ( )
y x b b b b ; ; = vektorlar berilgan bo’lsin. U holda 1) Bu vektorlar teng bo’lishi: z z y y x x b a b a b a = = = ; ; ; 2) Bu vektorlar kollinear bo’lishi: z z y y x x b a b a b a = = . Ikkita vektorning yig‘indisi yoki ayirmasi: ( ) z z y y x x b a b a b a b a = ; ; . ( )
y x a a a a ; ; = vеktorning ixtiyoriy songa ko‘paytmasi: ( ) z y x a a a a = ; ; .
Koordinatalar o’qining boshlang’ch nuqtasi O ni ixtiyoriy M(x; y; z) nuqta bilan tutashtiruvchi vektor OM r = ga M nuqtaning radius-vektori deyiladi. Uning koordinatasi quyidagicha bo’ladi ( )
y x r , , = yoki
k z j y i x r + + = .
Agar AB a = vektor
( ) 1 1 1 ; ; z y x A va
( ) 2 2 2 ; ; z y x B nuqtalarni tutashtirishdan hosil qilingan bo’lsa, bu vektorning koordinatasi quyidagicha topiladi: ( ) 1 2 1 2 1 2 ; ;
z y y x x AB a − − − = = . 3-misol. ( ) 1 ; 4 ; 3 1 − A va
( ) 3 ; 6 ; 4 2 − A nuqtalar berilgan bo’lsa, 2 1
A a = ning koordinatalarini toping. 1
4 , 3 1 1 1 = − = = z y x va
3 , 6 , 4 2 2 2 − = = = z y x .
( ) ( ) ( ) 4 ; 10 ; 1 1 3 ; 4 6 ; 3 4 ; ; 1 2 1 2 1 2 2 1 − = − − + − = − − − = = z z y y x x A A a ⚫
4-misol. Agar ABCD parallelogrammning 3 ta uchi ( ) ( ) ( ) 4 ; 4 ; 6 , 1 ; 2 ; 3 , 3 ; 2 ; 1 C B A − berilgan bo’lsa, D uchining koordinatalarini toping. D ning koordinatalari ( )
y x D , , . ABCD parallelogramm bo’lgani uchun AD BC = o’rinli. Bu vektorlarning koordinatalarini topamiz: ( ) 3 ; 2 ; 3 = BC va
( ) 3 ; 2 ; 1 − + − =
y x AD . Vektorlarning tengligidan, = = = = − = + = − 6 0 4 3 3 2 2 3 1 z y x z y x . Bundan ( )
; 0 ; 4 D .
⚫ 5-misol. Agar a vektorning uzunligi 5ga tengligi va u k j i b 2 2 4 5 + − = vektorga nisbatan qarama- qarshi yo’nalganligi ma’lum bo’lsa, uning koordinatasini toping.
0 5 a a = ko’rinishda yozish mumkin. a vector b ga qarama-qarshi yo’nalganligidan 0 0 b a − = . 0
ortni topamiz. 0 b b b = dan b b b = 0 topamiz. ( ) ( )
7 2 2 4 5 2 2 2 = + − + = b
j i b 7 2 2 7 4 7 5 0 + − = . k j i a 7 2 2 7 4 7 5 0 − + − = ,
j i a a 7 2 10 7 20 7 25 5 0 − + − = = ⚫ 6-misol. Agar 2 = a bo’lib, a vektor Ox va Oy o’qlar bilan mos ravishda 0 60
va
0 120
= burchak tashkil qilsa, uning koordinatalarini toping. ( ) z y x a ; ; = bo’lsin. a koordinatalarini quyidagicha topamiz a z a y a x = = = cos
, cos
, cos
. Avval
cos
ni topamiz. 1 cos cos cos
2 2 2 = + + dan 0 2 0 2 2 120 cos
60 cos
1 cos
− − = , ya’ni
5 , 0 cos 2 = . Bundan 2 2
= yoki 2 2 cos − = . Masalaning shartini 1
va 2
vektorlar qanoatlantiradi: ularning yo’naltiruvchi kosinuslari xususiyatiga ko’ra quyidagiga ega bo’lamiz
= − = = = = − = 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1
y x z y x va
− = − = = = − = − = 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 z y x z y x Natijada: ( )
; 1 ; 1 1 − = a va
( ) 2 ; 1 ; 1 2 − − =
. ⚫
+ + − = 3 2 va k j i b 2 6 + − = vektorlar kollinear bo’ladi?
ligidan
2 6 3 2 = − = − bundan
6 3 2 − = − va
2 6 3 = − . Natijada 4 , 1 = − = . ⚫ 2. ( )
( ) ( ) 3 ; 1 , 3 ; 1 , 3 ; 2 − = − = = c b a vektorlar berilgan bo’lsin. ning qanday qiymatida b a p + = va
c a q 2 + = vektorlar kollinear bo’ladi? 3. ( ) ( ) ( ) (
) 2 ; 4 ; 5 , 7 ; 2 ; 2 , 8 ; 7 ; 5 , 10 ; 5 ; 1 − − − − −
C B A nuqtalar berilgan bo’lsin. AB va CD vektorlar kollenyarmi; biri ikkinchisidan qancha uzun; ular bir-biriga nisbatan qanday yo’nalgan? 4. Uchburchakning ( ) 5 ; 1 ; 3 −
A , ( ) 5 ; 2 ; 4 − B va
( ) 3 ; 0 ; 4 −
uchlari berilgan bo’lsin. A uchdan o’tgan mediana uzunligini toping. 5. a va b vektorlar orasidagi burchak 60 0 bo’lib, 8 , 5 = =
a bo’lsa, b a + va
b a − larni toping.
VEKTORLARNING SKALYAR KO’PAYTMASI a vа
b vеktorlarning skalyar ko‘paytmasi:
= cos b a b a . Bu formulani quyidagi ko’rinishda ham yozish mumkin: b a b a a пр = yoki a b b a b пр = . Noldan farqli a va b vеktorlar ortogonal bo‘lishi uchun 0 =
a bo‘lishi zarur va yеtarli.
Agar
a va
b vektorlar o’zlarining koordinatalari ( )
y x a a a a ; ; = , ( ) z y x b b b b ; ; = bilan berilgan bo’lsa, u holda ularning skalyar ko’paytmasi
+ + = . a vа
b vеktorlar orasidagi burchak: z y x z y x z z y y x x b b b a a a b a b a b a b a b a + + + + + + = = 2 2 2 cos
. Download 469.11 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|