Vektorlar nazariyasiga doir mashqlar. Tekislikdagi to‘g‘ri chiziq. Vektorlar ustida amallar

STYUART TEOREMASINING BA’ZI TATBIQLARI :

1. 
   Styuart teoremasidan foydalanib ABC uchburchakning AD
   

medianasini uzunligini topamiz.
BC=a, AC=b, AB=с va D nuqta BC tomonning o’rtasi,




yoki (2)
2. Styuart teoremasidan foydalanib medianalari bilan berilgan ABС uchburchakning tomonlarini toping.
BC=a, AC=b, AB=c
O- medianalar kesishgan nuqta
∆AOC uchun Styuart teoremasini qo’llaymiz



(3)
Xuddi shu kabi: ,

Uchburchakning ikkita tomoni va , uchinchi tomondan bissektrisa ajratgan kesmalar va bo’lsa, shu bissektrisani toping.
va
Bissektrisa xossasiga ko’ra:
Styuart teoremasidan

=>
6. Uchburchakka tashqi chizilgan aylana markazi bilan uchburchak og‘irlik markazi orasidagi masofa topilsin.
A BC uchburchak BC tomonining o‘rta nuqtasi D va izlanayotgan masofa OG bo‘lsin. OBD uchburchakdan : va AD=m_a , Styuart teoremasini tatbiq etib, formuladan foydalansak,


yoki

bundan:

Теорема. (Птоломей) Айланага ички чизилган тўртбурчакнинг диагоналлари кўпайтмаси унинг қарама-қарши томонлари кўпайтмалари йиғиндисига тенг.
я ъни
Исботи: АС диагоналда ABM=CBD шартни қаноатлантирадиган М нуқта оламиз. CDB= MAB ўринли чунки, улар битта ёйга тиралиб турибди. Булардан DBC учбурчак ABM учбурчакка ўхшаш. яъни ABCD=АМBD (1).
Ясашлардан ABD =MBC эканлигидан BCM =ADB ни ҳам ёзиш мумкин. Демак,  ABD ~ МВС.
Бундан, яъни, ADВС = BDСМ (2).
(1) ва (2) ларни ҳадма-ҳад қўшсак, ABCD+ADВС= BD(AM + CM)=BDАC га эга бўламиз. Теорема исбот бўлди.

Мисол. Птоломей теоремасидан фойдаланиб Пифагор теоремасини исботлайлик.
И сботи. ABC учбурчакни ADBC тўғри тўртбурчаккача тўлдирайлик. Маълумки, тўғри тўртбурчакнинг барча ички бурчаклари 90⁰ дан, шунинг учун унга ташқи айлана чизиш мумкин. Птоломей теоремасига кўра,
АС · BD + AD ·BC = AB · CD. Тўғри тўртбурчакнинг AB = CD, AD = BC ва AC =BD хоссаси мавжуд. Шунинг учун ҳам AC² + BC² = AB² . Демак, теорема исбот бўлди.