Vektorlar va ular ustida amallar. Vektorlarning skalyar ko’paytmasi

с || a, ya’ni bu vektorlar kollinear;

A > 0 bo’lsa, с va a vektorlar bir xil yo’nalgan, A < 0 bo’lsa, с vaSt vektorlar qarama-qarshi yo’nalgan.

Vektorlarning songa ko’paytmasi quyidagi xossalarga ega:
1) А(ра) = p(Aa).; 2) (A ± p)a=ld ± pa. 3) 0- a=0.
(-l)o vektor a vektorga qarama-qarshi vektor deyiladi va —a kabi belgilanadi.
a va b vektorlarning yig’indisi deb ABCD parallelogrammning A uchidan chiquvchi diagonalidan hosil qilingan AC vektorga aytiladi vaa +
—э
Ъ kabi belgilanadi (parallelogramm qoidasi) (2-chizma).


2-chizma

Bu yig’indini uchburchak qoidasi deb ataladigan quyidagi usulda ham topish mumkin. Bunda dastlab parallel ko’chirish orqali b vektorning boshi a vektoming uchi ustiga keltiriladi (3-chizma). So’ngra aning boshidan

chiqib b ning uchida tugaydigan vektor hosil qilinadi va u a + b yig’indini ifodalaydi.


3-chizma

Bir nechta а_ъ a₂, a₃,..., a_n (n>3) vektorlarning yig’indisi parallelogramm qoidasini bir necha marta ketma-ket qo’llash bilan topiladi.

Vektorlarni qo’shish amali quyidagi xossalarga ega:

1. 
   a-\- b = b + a.
   
2. 
   (a + b) + с = a + (b + c) = (a + c) + b.
   
3. 
   + b) = Aa + Ab.
   

% —+ _x

4. 
   a + 0 = a.
   

ci va b vektorlarning ayirmasi deb a va -b vektorlarning yig’indisiga aytiladi va u a — b kabi belgilanadi.
a va b vektorlarning ayirmasini ular asosida qurilgan ABCD parallelogrammning kichik BD diagonali sifatida ham qarash mumkin (4- chizma).

4-chizma
Tekislikda XOY to’g’ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasini olamiz. Bu tekislikda berilgan har qanday a vektorni sonlar juftligi orqali ifodalash mumkin. Buning uchun mos ravishda OX va OY koordinata o’qlarida joylashgan musbat yo’nalishga ega hamda uzunliklari birga teng bo’lgan i va j vektorlarni kiritamiz (5-chizma).

5-chizma
Kiritilgan t vaj vektorlar birlik vektorlar yoki ortlar deyiladi. a_x va a_v lar ci vektorning koordinata o’qlaridagi proyeksiyalari bo’lib, a vektorni ular orqali d=a_x+a_y=xi+yj ko’rinishda yozish mumkin.

a=x t+y/ ga a vektorning birlik ortlar bo’yicha yoyilmasi, x va у sonlari esa uning koordinatalari deyiladi.
Tekislikda boshi A(xj;yj) va oxiri В(х₂;у2) nuqtada bo’lgan AB vektorning koordinatalari {x₂-x₁;y₂-yi} bo’lib, u AB{x₂-xi;y₂-yi} kabi yoziladi.
Fazoda XOYZ to’g’ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasida berilgan a vektorning koordinatalarini aniqlash uchun kiritilgan / va j
—i
ortlarga qo’shimcha 02 o’qida uzunligi birga teng bo’lgan к vektorni olamiz. U holda a vektorni
~a=xi+y^+zk
ko’rinishda yozish mumkin. Bu yerda x, y, z sonlar uchligi fazodagi a vektorning koordinatalari bo’lib uni a{x;y;z} kabi yoziladi.
Fazoda boshi A(x₁;y₁;z₁) va oxiri B(x₂;y₂;z₂) nuqtada bo’lgan AB vektor A3 {x₂- x₁; y₂-y₁;z₂-z₁} ko’rinishda yoziladi.
a{xj; yr, z/j va b{x₂; y₂; z₃} vektorlar teng bo’lishi uchun xj=x₂, yi=y₂ va z₁=z₂ bo’lishi zarur va yetarlidir. Koordinatalari bilan berilgan vektorlarning yig’indisi, ayirmasi va songa ko’paytmasi quyidagicha aniqlanadi.
a{x₁;y₁;z₁}±b{x₂;y₂;z₃} =c{x_I±x₂;y_I +y₂;z₁ ±z₂}, An{Xx,;Xy,;Xz,}.Fazodagi XOYZ to’g’ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasida boshi O(0;0;0) nuqtada va oxiri M(x;y;z)


nuqtada bo’lgan OM vektomi qaraymiz.
Odatda uni M nuqtaning r=OM radius vektori deyiladi (6-chizma).
Uning uzunligi r = x² + y² + z² formula bilan aniqlanadi va i, /, к lar orqali ?■ = xi - yj - zk kabi yoziladi.
Boshi A(xj; yy zj) va oxiri B(x₂; У2: z₂) nuqtada bo’lgan U=AB vektorning koordinata o’qlaridagi proyeksiyalari mos ravishda X = x₂-x_lr Y = y₂~yi,Z = z₂- z₁ bo’ladi. Uning uzunligi esa
ga teng bo’ladi. Bu holda ham U=AB =Xi+Yj+Zk deb yozish mumkin.
Agar U=AB vektor koordinata o’qlari bilan a, /?, va у burchaklar hosil qilsa, u holda
^x о ^{Y z}
COSGL=~, COSp =~, COSy=-
bo’ladi va ular uchun
cos^Aa + cos^z£> + cos²y—l
o’rinli bo’ladi. Bu yerdagi cosa, cosf> va cosy larni AB vektorning yo’naltiruvchi kosinuslari deyiladi.
Ikkita a va b vektorlarning skalyar ko’paytmasi deb ularning modullari bilan ular orasidagi burchak kosinusining ko’paytmasiga aytiladi.
o. va b laming skalyar ko’paytmasi d ■ b yoki (a,b) kabi belgilanadi. Demak, ta’rifga asosan,
a ■ b =|rl| ■ |й| ■ cos(p Skalyar ko’paytma quyidagi xossalarga ega:

1. 
   d ■ b = b ■ d.
   
2. 
   a ■ a=\a\².
   
3. 
   (Ad)- b=d -(ib).
   
4. 
   а ■ (jb + с) = а ■ b + а ■ с
   
5. 
   Agar alS bo’lsa, a ■ b = 0 bo’ladi.
   

Agar vektorlar afa_x; a_y; a_zj va b{b_x; b_y; bj koordinatalar orqali berilgan bo’lsa, u holda skalyar ko’paytma quyidagicha bo’ladi:
c. ■ b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z.
Koordinatalari bilan berilgan ikki vektor orasidagi burchak quyidagi formuladan topiladi:
■. —+
"Н Ду ""H Ct'7'
a-b

Ifil lb I

J
coscp
'a_x²+ay²+a_z²- 'b_x²+by^+b_z²

1. 
   — = ^bjL =— ga ikki vektorning parallellik sharti;
   

d-'ji a_y fly

2. 
   a_xb_x + Oyby + a₂b_z=0 ga ikki vektorning perpendikulyarlik sharti deyiladi.
   

Xulosa:
5-chizma

Kiritilgan t vaj vektorlar birlik vektorlar yoki ortlar deyiladi. a_x va a_v lar ci vektorning koordinata o’qlaridagi proyeksiyalari bo’lib, a vektorni ular orqali d=a_x+a_y=xi+yj ko’rinishda yozish mumkin.
a=x t+y/ ga a vektorning birlik ortlar bo’yicha yoyilmasi, x va у sonlari esa uning koordinatalari deyiladi.
Tekislikda boshi A(xj;yj) va oxiri В(х₂;у2) nuqtada bo’lgan AB vektorning koordinatalari {x₂-x₁;y₂-yi} bo’lib, u AB{x₂-xi;y₂-yi} kabi yoziladi.
Fazoda XOYZ to’g’ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasida berilgan a vektorning koordinatalarini aniqlash uchun kiritilgan / va j
—i
ortlarga qo’shimcha 02 o’qida uzunligi birga teng bo’lgan к vektorni olamiz. U holda a vektorni
~a=xi+y^+zk
ko’rinishda yozish mumkin. Bu yerda x, y, z sonlar uchligi fazodagi a vektorning koordinatalari bo’lib uni a{x;y;z} kabi yoziladi.