Векторларнинг скаляр, вектор ва аралаш кўпайтмалари Фазода текислик тенгламалари Фазода тўғри чизиқ тенгламалари

2. Берилган нуқтадан ўтиб, берилган векторга перпендикуляр бўлган текислик тенгламаси
Фазода берилган нуқтадан берилган векторга перпендикуляр бўлган ягона текислик ўтказиш мумкин. Фазода нуқтадан ўтиб векторга перпендикуляр бўлган Р текислик тенгламасини тузиш талаб этилсин. Бунинг учун текисликда нуқтани оламиз. нуқта ва векторларнинг координаталари маълум бўлсин:
.
нуқта Р текисликда ётиши учун вектор векторга перпендикуляр бўлиши, яъни ушбу тенглик бажарилиши зарур
. (10)
Икки векторнинг скаляр кўпайтмаси қоидасига кўра (10) тенглама қуйидаги кўринишга эга бўлади:
. (11)
(11) тенглама Р текисликни, яъни берилган нуқтадан ўтиб берилган векторга перпендикуляр текислик тенгламасини ифодалайди.
Мисол 15. нуқтадан ўтиб, векторга перпендикуляр бўлган текислик тенгламасини тузинг.
Ечиш. Бунда . Буларни (11) тенгламага қўйиб, изланган тенгламани топамиз
ёки
- сонни билан белгилаб, (11) тенгламани қуйидагича ёзамиз
(12)
бунда .
Шундай қилиб, фазода ҳар қандай текислик уч ўзгарувчили чизиқли тенглама билан аниқланар экан. Бу тенглама текисликнинг умумий тенгламаси деб юритилади. Бу тенгламада коэффициентлар текисликни нормал векторининг координаталари. Масалан, агар текислик тенглама билан берилган бўлса, у ҳолда бу текислик векторга перпендикуляр бўлади.
Мисол 16. текисликнинг бирлик нормал векторининг координаталарини топинг.
Ечиш. Берилган текисликни нормал вектори сифатида векторни олишимиз мумкин, унинг узунлиги . Демак, изланган бирлик нормал вектор , ҳамда унга қарама-қарши вектор бўлади.
Фазода тўғри чизиқ тенгламаси
Икки нуқтадан ўтувчи тўғри чизиқ тенгламаси. Фазода икки нуқта орқали фақат битта тўғри чизиқ ўтказиш мумкин. Фазода берилган нуқталар орқали ўтувчи тўғри чизиқ тенгламасини тузиш талаб этилсин. Бунинг учун тўғри чизиқда нуқтани оламиз. Тўғри чизиқдаги нуқта тўғри чизиқда ётиши учун ва векторлар коллинеар бўлиши керак, яъни , тенглик ўринли бўлади, бунда қандайдир сон. Вектор тенгликдан ушбу тенгликлар келиб чиқади: , , . Бундан берилган икки тўғри чизиқ орқали ўтувчи тўғри чизиқ тенгламасини топамиз:
. (13)