6-ma`ruza. Икки ўзгарувчили функциянинг экстремуми. Сиртга ўтказилган уринма текислик ва нормал тенгламаси. 1- мисол

6-ma`ruza. Икки ўзгарувчили функциянинг экстремуми. Сиртга ўтказилган уринма текислик ва нормал тенгламаси.
1- мисол. z  x² 2xy  y ²  x 2y сиртга Мо(1, 1, 1) нуқтада ўтказилган уринма текислик ва нормал тенгламаларини тузинг.
Ечиш. Хусусий ҳосилаларни топамиз:
z z
2x2y1 ва 2x2y  2
x y
Бу ҳосилаларнинг Мо(1, 1, 1) нуқтадаги қийматларини ҳисоблаймиз:
z z

x M0  2 211. ва y M0 222
Шундай қилиб, f_x^' 1,1 1, f_y^' 1,1 2 Демак, уринма текислик тенгламаси:
z1x12y1 ёки x2yz0
нормал тенгламаси:
x1 y1 z1
 
1 2 1

2. 
   м и с о л. x³  y³  z ³  xyz 6  0 сиртга М₀(1,2,-1) нуқтада ўтказилган уринма текислик ва нормалнинг тенгламасини тузинг.
   

Е ч и ш. Тенгламанинг чап томонини Fx, y,z орқали белгилаб, хусусий ҳосилаларни топамиз:
F_x^' x, y,z 3x ²  yz ; F_y^' x, y,z 3y ²  xz; F_z^' x, y,z 3z ²  xy
Ҳосилаларнинг Мо(1, 2,-1) нуқтадаги қийматларини ҳисоблаймиз:
F_x^' 1,2,1 32 1; F_y^' 1,2,112111; F_z^' 1,2,1 3 2  5
Шундай қилиб, уринма текислик тенгламаси:
1x111y25z10 ёки x11y5z180
нормал тенгламаси:
x1 y2 z1
 
1 11 5

2. 
   м и с о л. z  x³ 5x²  xy  y ² 10x5y 4 функцияни Ро(2, -1) нуқта атрофида Тейлор формуласи бўйича ёйинг.
   

Ечиш. Берилган функциянинг хусусий ҳосилаларини ва уларнинг Р₀(2, 1) нуқтадаги қийматларини бирин-кетин ҳисоблаймиз:
f x, y x³ 5x²  y ² 10x5y 4 xy , f 2,1 2;
f_x^' x, y 3x² 10x  y 10, f_x^' 2,1 3; f_y^' x, yx 2y 5, f_y^' 2,11; f_xx^'' x, y 6x 10, f_xx^'' 2,1 2; f_xy^'' x, y1, f_xy^/' 2,11; f_yy^'' x, y 2, f_yy^'' 2,1 2; f_xxx^''' x, y 6, f_xxx^''' 2,1 6;
Кейинги барча ҳосилалар айнан нолга тенг. Топилганларни Тейлор формуласига қўйиб, изланаётган ёйилмани ҳосил қиламиз:
z  f x, y 23x2y 1x2² x2y 1y 1² x2³
4-мисол. z xyxy2 функциянинг экстремумларини топинг.
Ечиш. Функция бутун Оху текисликда аниқланган. Критик нуқталарни қуйидаги тенгламалардан топамиз:
z  2xy  y 2  2y  0
x

^z  ² 2xy2x0 x 
y
Бу системани ечиб, тўртта критик нуқтани топамиз: Р₁(0,0), Р₂(2,0),

Р₃(0,2), P₄^_ ², ^2_. Иккинчи тартибли хусусий ҳосилалар.
 3 3
f_xx^'' x, y 2y; f_xy^'' x, y 2x 2y 2; f_yy^'' x, y 2x
Ҳар бир критик нуқтадаги дискриминантни ҳисоблаймиз:
а) Р₁(0,0) нуқтада:   AC  B²  202020 202²  4  0 демак экстремум йўқ (экетремумнинг етарли шартига мувофиқ);
б) Р₂(2,0) нуқтада: 4  0, демак экстремум мавжуд эмас;
в) Р₃(0,2) нуқтада: 4  0, демак экстремум мавжуд эмас;

г) P₄^_ ², ^2_ нуқтада: _ ¹²  0, A _ ⁴  0, демак функциянинг минимум
 3 3 9 3

н уқтасига эгамиз, бу нуқтада z_min  f ^ ², ^2.  3 3
5-мисол. z  x²  y ²  xy  x yфункциянинг x0, y  0, x  y  3 соҳадаги энг катта ва энг кичик қийматларини топинг.
Ечиш. D соҳа АОВ учбурчакдан иборат (41-шакл).
а) Ушбу системадан соҳа ичидаги критик нуқталарни
топамиз:

^_^x^zz 2x y10
2yx10
y
Бу ердан: x=-1, y=-1, демак, Р₀(-1,-1) нуқтага эгамиз.
б) Функцияни соҳа чегарасида текширамиз. Тенгламаси у=0 бўлган АО чегарада z  x²  x функцияга
эгамиз; критик нуқталарнинг абсциссаларини z_x^'  2x1 0 тенгламадан
а ниқлаймиз: x_ Демак критик нуқта: P₁^ ¹ ,0^ бўлган ВО чегарада
 2 
z  y ²  y функцияга эгамиз; критик нуқталарнинг ординаталарини
z ^'_y  2y 1 0 тенгламадан топамиз: y _ Демак, критик нуқта P₂ ^0, ^1
 2
Тенгламаси y3x бўлган АВ чегарада функцияга эгамиз; критик нуқталарнинг абсциссиларини +9=0 тенгламадан топамиз: . АВ тенгламасидан . Демак критик нуқта:
.
в) Берилганфункциянинг критик нуқталардаги ҳамда чегаралар туташадиган A, B ва О нуқталардаги қийматларини ҳисоблаймиз:


г) Функциянинг топилган барча қийматларини таққослаб,
= ва = -1 деганда хулосага
келамиз.
6-мисол. функциянинг ва ўзгарувчилари тенглама билан боғланган шартдаги экстремумини топинг. Ечиш. Лагранж функциясини тузамиз:
Ф =
Қуйидагига эгамиз:

Ф фукция учун экстремумнинг зарурий шартлари ушбу тенгламалар сестимасини беради.

Бу сестимани ечиб, иккита:
ва
ечимларни топамиз.
Энди
,

эканлигини эьтиборга олсак, у ҳолда

1. 
   
   

яьни функция нуқтада шартли минимумга эга.

2. 
   
   

яьни функция нуқтада шартли максимумга эга.

Мустақил ечиш учун мисоллар:

1. 
   Берилган сиртга берилган M ₀ x₀ , y₀ ,z₀  нуқтада ўтказилган уринма текислик ва нормал тенгламаларини тузинг:
   

а) z 1 x ²  y ² , M ₀ 1,1,3;
б) x²  y ²  z ² 1, M ₀ 2,2,3
в) z  lnx ²  y ² , M ₀ 1,0,0;
г) x²  z ² 5yz 3y  46 M₀ 1,1,3.

2. 
   Функцияларни экстремумга текшириш:
   

a) б )
в)
г)