X. K. Sarimsakova ehtimollar nazariyasi va matematik statistika

2) 
bo'lgan  D  to 'rtb u rch ak k a  tushish  ehtim oli  quyidagicha 
aniqlanadi:
P((X, Y ) e  D j =  P{x{  < X  < x2 ; y{   v
2
 / =
= F( x2, y2
F(
x
2,}’\ ) ~ F(X\ . v2 К  
,3*, )
Bu  yerda,  tabiiyki,  ( x { 
Ikki  o ‘lchovli  diskret  tasodifiy  miqdor  deb  tashkil  etuvchilari 
diskret  bo'lgan  (X;Y)  tasodifiy  miqdorlar  sistemasiga  aytiladi.
Ikki  o ‘lchovli  uzluksiz  tasodifiy  miqdor  deb  tashkil  etuvchilari 
uzluksiz  bo'lgan  (X;Y)  tasodifiy  m iqdorlar  sistemasiga  aytiladi.
Ikki  o'lchovli  diskret  tasodifiy  miqdor  taqsimot  qonuni  deb  ular- 
ning  qabul  qiluvchi  qiymatlarining  barcha  juftliklari  (Xjiyj)  va  bu
juflliklaming  ehtimolliklari  Pij  =  p(  x i  У j  )  (i= l,2 ,...n ;  j= l,2 ,...,m ) 
ko'rsatilgan  quyidagicha jadvalga  aytiladi:
/  =1,  2, 
m).
Ikki  o'lchovli  tasodifiy  miqdorning  taqsimot  qonunini  bilgan  holda 
har  bir  tashkil  etuvchisining  taqsimot  qonunini,  topish  mumkin:
m 
ri ~
P{ X=Xj  } =  X  p(x,;Vj)  0=1,2..... n) 
P \Y -   Vj } -   Y^p(x-,;y j )   (j=1.2......m)
H  
M

Uzluksiz  tasodifiy  m iqdorlarni  F ( x , y )   taqsim ot  funksiyasi
yok\ f ( x ,  у )  zichlik  funksiyasi  orqali  aniqlash  mumkin.
(X, Y)  ikki  o'lchovli  uzluksiz  tasodifiy  miqdorlar  sistem asi- 
m n % f ( x , y )   zichlik  funksiyasi  deb  sistemaning  taqsimot  funksiyasi­
dan  olingan  ikkinchi  tartibli  aralash  hosilaga  aytiladi:
/<*■)') =  (  F! \ ' y> = F " J x , y ) . 
rxty
Zichlik  funksiyasining  xossalari:
1.  f ( x , y ) > ( ) .
00 
ОС
2
. 
!  \ f  
(  
x, y) dxdy 
-  
1
— ОС  —X
Л'  У
3.  F ( x , y ) =   j  \ f ( u . v ) d u d v ;  bu  yerda  F ( x , y )   (X;Y)  tasodifiy
— X  —00
miqdorlar  sistemasining  taqsimot  funksiyasi.
4.  (X, Y)  tasodifiy  nuqtaning  uchlari  (x^)^) ,   (x\ , v2 ),  ( x 2,y\ J.
( Х2'У2  )  ^ vi  2
> 
-vi  < У2)  nuqtalarda  bo‘lgan  D  to'rtburchakka  tush­
ish  ehtimoli  quyidagicha  aniqlanadi:
Pj( X , Y ) e D } = \\ f (  x, v )dxdy 
i>
Tashkil  etuvchilarning  zichlik  funksiyalari  quyidagi  formulalardan 
topiladi:
f \ ( x ) = } f ( x . y ) d y .   f y( v)  =  ] f (  x,v)dx
-   S . 
-  x .
X   va  Y  tasodifiy  miqdorlar  bog‘liqsiz  deyiladi,  agar  ulardan 
ixtiyoriy  birining  taqsimot  qonuni  ikkinchi  tasodifiy  m iqdorning 
qanday  qiymat  qabul  qilganiga  bog'liq  bo'lm asa.

Ikki  tasodifiy  m iqdor  bog'liqsiz  b o ‘lishining  zarur  va  yetarli 
shard  quyidagicha:
Teorema:  Ikki  X  va  Y tasodifiy  m iqdor  bog‘liqsiz  bo'lishi  uchun 
(X, Y)  —  ikki  o'lchovli  tasodifiy  miqdorning  F(X, Y)  taqsimot  funksiya­
si  tashkil  etuvchilari  taqsimot  funksiyalarining  ko'paytm asiga  teng 
bo'lishi  zarur  va  yetarlidir:
F( .v, у  ) = FX ( x )■ Fy ( v )
Bu  teorem adan  ushbu  natijani  olish  mumkin:
Natija:  Ikki  X   va  Y  tasodifiy  m iqdor  bog'liqsiz  bo'lishi  uchun 
(X, Y)  —  ikki  o'lchovli  tasodifiy  m iqdorning  f(X, Y)  birgalikdagi 
zichlik  funksiyasi  tashk il  etu vch ilari  z ich lik   fu nk siy alarin in g 
ko'paytmasiga  teng  bo'lishi  zarur  va  yetarlidir:
f ( x , y )   =   f X ( x ) - f y ( y ) .
X  va  Y tashkil  etuvchilarning  m atematik  kutilma  va  dispersiyalari 
hamda  (X, Y)  tasodifiy  nuqtaning  ixtiyoriy  D  sohaga  tushish  ehtim o­
lini  topish  formulalari  quyidagi  jadvalda  keltirilgan:
X   va  Y  diskret 
tasodifiy  miqdorlar
X   va  Y-  uzluksiz 
tasodifiy  miqdorlar
F(x.y) =  X   Z a>
X ' 
<-Y V; .V
  V
F(:v. v ) =  |   \ f (  u, v) du dv
— 
X -x
MX= Z  Z -Y< • Po
'■
  j
• '/) - = Z Z > v p y
i  J
со  x
MX  = 
J 
J-V • / (л\ у ) dx dy
-X —
cc 
со  x
MY= 
J 
\y-f(x,y)dxdy
-cc —
 X
= 
-   MX)2  -pij 
1  J
£>>■= X Z
0 7   “  m >2  P
ij
i  j
x  'r.-
DX -  
J 
jV-Y -  MX)'  • f  (x, у ) dx dy
—
 CC —
О
С 
X  X
DY =  {  \ ( y - M Y ) 2 -f(x.yidxdy
—
 X -X
P;i X . Y ) e D ‘ = 
Z   Pij
Pj( X. У) e Dj =  J / (x.y)dx dy 
D

Tashkil  etuvchilarning  dispersiyalarini  hisoblash  uchun  disper­
siyaning  DX=MX- ( MX) 2 xossasini  e ’tiborga  olgan  holda  quyidagi  for­
muladan  foydalanish  ham  mumkin:
+  X   +  OC 
+0C
DX  =  J  J  л'2  - f ( x .  y ) d x d y - ( M X ) 2  =  J  x 2  - f x ( x ) c h - (  MX  ) 2 .
— X   — X  
— 00 
%
Quyidagi  kattaliklarga oY X ) = - JDX,  cr(Y ) -  -JDY  ~   X,  Y tasodifiy 
miqdorlarning  o‘rtacha  kvadratik  chetlashishi  (og‘ishi)  deyiladi.
( MX, MY)   nuqta  (X, Y)  ikki  o'lchovli  tasodifiy  miqdorning  sochi- 
lish  markazi  deyiladi.
Namunaviy  masalalar  yechish
1-masala.  (Ikki  o'lchovli  diskret  tasodifiy  miqdor  tashkil  etuv- 
chilarining  taqsimot  qonunini  topish).  Ikki  o'lchovli  tasodifiy  miq­
d or  quyidagi  taqsimot  qonuni  bilan  berilgan:
X
Y
x
r=2
x
2= 5
х3=Ю
У 1=1
0,30
0 ,1 0
0,1 0
У 2=4
0 ,1 5
0 ,2 5
0,1 0
Tashkil  etuvchilarning  taqsimot  qonunlarini  yozing.  Ularning 
miqdoriy  xarakteristikalarini  va  sochilish  m arkazini  toping.
Yechish:  Ustunlar  bo'yicha  ehtimolliklarni  qo'shib  chiqib,  X  ning 
qabul  qiladigan  qiymatlarining  ehtimolliklarini  topamiz:
/Yx,,)=0,30+0,15=0,45;
P(x2)= 0 ,10+0,25=0,35;
P(xJ=Q, 
10+ 0, 10= 0,20.
X   tashkil  etuvchining  taqsimot  qonunini  yozamiz:
X
*1=2
x
2=5
x3=10
P
0,45
0,35
0,20
X   tashkil  etuvchisining  m atem atik  kutilishi,  dispersiyasi  va 
o 'rta c h a   kvadratik  chetlashishini  topam iz:
3
MX  =  X
Z • Pij
 
=  Z Xi
 
• P { x   =  * / } = 2 ■
 0,45 + 5 • 0.35 + 10 • 0,20 =  4.65
i  j
 
/ = /

D X  = £  Xj~-P\X=x,  ) - ( M X p  =
22  0.45+52 -0.35+102  0.20-4.652 =8.9275.
/ = 
1
at X )  = yfDX  = л/8.9275  = 2.988
Satrlar  bo'yicha  ehtimolliklarni  qo'shib  chiqib,  Y  ning  qabul 
qiladigan  qiym atlarining  ehtimolliklarini  topamiz:
/> 6 ^ = 0 ,30+0,10+0,10=0,50;
P(y2)= 0,15+0,25+0,10=0,50.
tashkil  etuvchining  taqsim ot  qonuni  quyidagicha:
У
У 1=1
У2=4
p
0,50
0,50
Y 
tashkil  etuvchining  miqdoriy  xarakteristikalari  ham   X   ning 
xarakteristikalari  kabi  hisoblanadi:
MY = 2,5;  DY = 2,25;  a( Y)  =  1.5.
Ikki  o'lchovli  (X,Y)  tasodifiy  m iqdorning  sochilish  markazi 
qo'yidagi  koordinatali  nuqtada  yotadi:  ( MX; MY ) = (4,65;  2,5).
Javob;
X
x
,=2
x
2=5
x3=10
P
0,45
0 ,35
0,20
Y
У 1=1
y 2=4
P
0,50
0,50
MX = 4.65;  DX = 8,93;  cr(X) = 2,988;
MY = 2,5. 
DY = 2,25;  a ( Y j  = 1.5;  <
 MX; MY) = (4,65;  2,5)
2-masala.  (To'rtburchak  ichiga tushish  ehtimoli).  Agar ikki  o'lchovli 
tasodifiy  miqdorning  taqsim ot  funksiyasi  F(x,y)
F ( x ,y  ) = sin X' sin у  
(0 < л*  < л / 2 ,  
0 < у   < л / 2 ) .  
berilgan  b o 'lsa ,  (Х> Y)  tasodifiy  nuq tan in g  
х - л / 6
, 
х - л / 2 ,
у  = 
л
/ 4,  
у  
- л / 5
  to'g'ri  chiziqlar bilan  chegaralangan  to'rtburchak • 
ichiga  tushish  ehtimoli  toping.
Yechish: 
x j   -   л / 6, 
x j   -  л/2-,
  v /  
-   л / 4, 
у
2
  — л / 3
  deb  olib, 
taqsim ot  funksiyasining  5-xossasidan  foydalanib,  izlanayotgan  eh ti­
mollikni  hisoblaymiz.

Pj  л   6  <  Л'  <  л- /  2;  л  / 4   <  Y  <  л  /  3 /   = 
F(
л   2,  л /  3 ) -  
F( 
л   2,  л /  4 ) -
-  F( 
л  
6.  /т / 3 
) + F( 
л  
/ 6. 
л /  4 )  
= 
si / и л  
/  2; .smf 
л  
/ 3 ) -  
sin( л  
■
 
2 )  si n(  л  
/  
4 ) -
-  л’шЛт  •  6 ) s i n ( л  /  3 )  + s i n ( л  / 6 ) s i n ( л  /  4 )   =  (у/3  -   л /2 ) / 4   =  0,08.
Javob:  PI л  6  < X  < л .  2; л / 4 <  )  <  л / 3 / = 0,08.
3 -m a s a la . 
(Taqsimot  funksiyasi  m a’lum  bo'lsa,  zichlik  funksiya­
sini  topish).
I k k i   o 'lc h o v li  (X ,  Y)  ta s o d ifiy   m iq d o r n in g   ta q s im o t  f u n k s i y a s i  
F ( 
л .   v
)
  =  
sin  x   sin  
у   (0 
< x  
<7г/ 
2, 
U < y < n / 2 )   va  b o sh q a   h o l-  
la rd a   nolga  ten g   b o 'ls a ,  u n in g   f ( x , y )   z ic h lik   fu n k s iy a s in i  toping.
Yechish:  Zichlik  funksiyasining  t a ’rifiga  asosan,
/•/ 
, 
F( 
x . y )
J ( x . y )   = ----- — ----- =  FXy ( x . y ) .
rxcy
Demak,  taqsim ot  funksiyasidan  x   bo'yicha  xususiy  hosila  olsak,
d F ( x , y )
-------------- =  c o s  x  •  s m  у  •
dx
Olingan  natijadan 
у
  bo'yicha  xususiy  hosila  olamiz  va  izlangan 
zichlik  funksiyasini  hosil  qilamiz:
r , 
, 
r 2 F( 
x . y )
J ( x , v )   =
-------------------=  
COS X
  • 
COS
  V
rkc\'
Javob: 
( 0 < х < л   2, 
0 < у < л   2) 
da 
f ( x , y )   = 
^ - — :L^ -  = 
c o s x - c o s v .
r x c y
4-masala.  (Ikki  o'lchovli  tasodifiy  m iqdorning  zichlik  funksiyasi 
m a’lum  bo'lsa,  uning  taqsimot  funksiyasini  topish).  Ikki  o'lchovli 
tasodifiy  miqdorning  zichlik  funksiyasi  berilgan:
f(x -y.) = — л----- 1лГ,----- Л.
П'(1 +  Х 'д 1+У ')

Yechish:  Taqsim ot  funksiyasini  hisoblash  uchun  quyidagi
F(x. .v) =  |   J/Y и, v) du dv
formuladan  foydalanamiz.  Zichlik  funksiya
■f  -W = ^ (
7 7 7 )(7 7 7 )  8a  tenS  ekanligidan:
1  V V 
duch' 
_ 
1  У
(
  I 
у 
du
*V 
л' :  -
1-1  (l + I/"X* + v")  71  _AI  + V  - J+w*
dv  =
1  V  1 
f
 
'T L  
f  1 
П   1  I   1  д
=  —   ------   arctv  x + —  av  =  —arct%  x +  — ----  ------ d\'  =
7T:  } l + v-'l 
2 J 
I
tt
 
2 J  7Г  J \ + v'
=  \ L arcl g x  + U y - a r c t g y  + -
Javob:  F ( x . y ) -
1
l
— arete x + —  • 
n  
2  1
I
1
— arctgy + -  
n  
2
,
f ( x . y )  =
5-masala.  ((X, Y)  tasodifiy  nuqtaning  ixtiyoriy  D  sohaga  tushish 
ehtimoli).  (X, Y)  tasodifiy  miqdorlar  sistem asining  f(x,y)  zichlik 
funksiyasi  berilgan:
^ - ^ 2 - j x 2  + y 2 ^j,  (x,  y)  e  D = {(x,  y)  : x 2  + y 2  <4
0, 
( x, у ) й D
(X, Y)  tasodifiy  nuqtaning  markazi  koordinatalar  boshida  bo'lgan 
D
1  birlik  aylanaga  tushish  ehtimolini  toping.
Yechish:  Bu  ehtimollikni  topish  uchun  quyidagi  formuladan  foy­
dalanamiz:  P { ( X J ) s D i  }=  \\f(x ,y )d x d y ,  bunda  Dj   -   x 2  + _>•-  < /  - 
birlik  doira. 
Dj
Pj t X, Y) e  D\  } = 
\\f(x,y)dxdy = ^ -  
JJ 
{ 2 -  J x 2  + y
2  )dxdy
.v“ + »-
Д- + 
1 - <1 
'
Agar л:=r-coscp,  y=r-sin
  qutb  koordinatalarga  o £tsak,
3  2n 
1 
I
P { ( X . Y ) 
g
  Dj  I  = -----J  d(p \( 2 -  r ) - r ■
 dr = —.

Javob:  P { ( X , Y  ) e D , }  = - .
6-masala.
  (Tashkil  etuvchilarning  taqsimot  funksiyasini  sistemaning 
taqsimot  funksiyasi  orqali  topish).  (X, Y)  —  ikki  o'lchovli  tasodifiy 
m iqdorlar  sistemasining  F(x,y)  taqsimot  funksiyasi  berilgan:
, 
f 7 
-  
2 ~ x  -   2 ~ y
 
+ 
2 ~ x ~ y
.  x > 0,  v > 0;
F( x. y)  = \
|
0, 
x <0  ,  у  <0.
X   va  Y  tashkil  etuvchilarning  taqsimot  funksiyasini  toping.
Yechish:  Ikki  o'lchovli  tasodifiy  m iqdor  taqsimot  funksiyasining 
4-xossasiga  asosan 
F ( x . x / =  
F x (x).  F(x. y) = Fy (y)-  Demak,
F \ ’( x)  = F(x,co)=  lim  F( x, y) =  lim 
Il -2~x -2~y +2~x~y .  x>0,  y>0: 
-V_KC 
)'-*x  jo. 
,v < 0  .  \  < 
0.
l i m
  ( -  
2 ~ y
  +  
2 ~ x ~ y )  =   0
 
s h u n i  
h
°
p
 
,  
, 
\ l -   2 ~ x
, 
x  > 0;
F* ( x )  = \ n
[
0, 
x < 0 .
Xuddi  shu  usul  bilan  Y tashkil  etuvchisining  taqsim ot  funksiya­
sini  topamiz:
F r f y j A 1' 2 *'  y ~ ° :
[0. 
у  <0
77  , 
j /  -  2~x .  x >0; 
_  .  , 
j  
у  > 0;
Javob: ^A   j 
y  У 
\ n  
n
[
0, 
.v <  0. 
[
0. 
у  < 0
7-masala.
  (Sistemaning  zichlik  funksiyasi  berilgan  bo'lsa,  tashkil 
etuvchilarning  zichlik  funksiyalarini  topish).  (X, Y)-  ikki  o'lchovli 
tasodifiy  miqdor  birgalikdagi  f(x,y)  zichlik  funksiyasi  yordamida 
berilgan:
f ( x . y )  =
1 
Г  
y 2 
,
— .  —  + r— <  J; 
6n 
9 
4
0
2
~9 
4

Yechish:  X   va  Y  tashkil  etuvchilarning  zichlik  funksiyasini  qu­
yidagi  formula  yordamida  topamiz:
f \ ( x ) =   \ f ( x , y ) d y .   f y  ( у  ) =  \ f  ( x, y) dx
—:c 
—X)
X  tashkil  etuvchining  zichlik  funksiyasi:
f \ ( x )  =  \ f (  x.y )dy =
_l_
6  
71
2 V I - .V -   9
-
2Vl-.v2
\ dy = 
—  
j A' =  —  л/9 -  л-2 .
бтг
9л-
Demak,
f x ( x )  =
0
Y 
tashkil  etuvchining  zichlik  funksiyasini  ham   xuddi  shu  kabi 
topamiz:
Javob:
f x ( x ) =
—
 V
9
- . Y
2
 
.  Lvl  <   3 ;
9л- 
1  1 
f \ (  У) =
0
•Ы -  3.
2^ V 4 - r   .M < 2-'
0 
, M >
2.
8-masala.  (Ikki  o'lchovli  uzluksiz  tasodifiy  m iqdorlarning  sonli 
xarakteristikalari). 
ikki  o'lchovli  tasodifiy  m iqdor  birgalikdagi
zichlik  funksiyasi  f(x,y)  orqali  aniqlangan:
r , 
[4 ■
 x ■
  v ■
 exp(  -  x 2  -  v2),  .v>
0,  v > 0. 
f ( x , y )  = <
 
•
[O , 
x
<0  yoki  j< 0.
Tashkil  etuvchilarning  m atem atik  kutilmasi,  dispersiyasi,  o'rtacha 
kvadratik  og'ishi  va  (X,Y)  sistem aning  sochilish  markazini  toping.
Yechish:  Dastlab  tashkil  etuvchilarning  zichlik  funksiyalarini  topib 
olamiz:
00 
9  °°
f x ( x ) =   \ f ( x .  у  )dy -  4 ■
 x ■
 exp(-x" ) J v • exp(-y~ )dv -  2x ■
 exp(-x~ ). (x> 0)
—cc 
0
7
Xuddi  shuningdek:  f y  ( у  )  =  2 у  • e x p ( - y ~   ), 
( у   >  0 ) .
X   tashkil  etuvchining  m atem atik  kutilmasini  topamiz:
M X   =  Jx • f x  ( -V )dx  =  \ x  • (2x • expi^- x “ |:/л'
— ос- 
О
Ikki  rnarta  bo ‘laklab  integrallab  va  Puasson  integrali

1  
/ 
2  \А 
.  J ехр( - х   )ах =  - у -
п
ekanini  hisobga  olsak,  u  holda  M X  = -Jit  /  2  ga  teng  bo'ladi. 
X  tashkil  etuvchining  dispersiyasini  topamiz:
D X =  j x 2 ■
 f % ( x ) d x - (  MX ) 2  =  \ x2 • (
2* • ex/l~ x 2 
-  ( —
—  
00
 
0
 
v
2
v
= 7 - —. 
4
U  holda  o ‘rtacha  kvadratik  og‘ish  cr( X ) = л/D X   = -jl -  n  /  4  ■
 
Tashkil  etuvchilarning  zichlik  funksiyalari  ko‘rinishi  bir xil  boMgani
uchun;  M Y = j n / 2 \   D Y = l - n / 4 ' ,    = л/ 1 -  n  /  4  ■
(X, Y)  ikki  o'lchovli  tasodifiy  miqdorning  sochilish  markazi
( M X , MY ) = ( -fn /  2; 4 n   /  2) ■
*  Javob:
MX  = MY = 4 n /2' ,   D X - D Y   =  l ~ n / 4 \   a ( X ) = a ( Y ) - 4 l  -  n  /  4 ■
 
Sochilish  markazi  ( M X , M Y ) = ( 4 n  / 2 ; 4 n  / 2 )
Mustahkamlash  uchun  masalalar
1. 
Ikki  o'lchovli  diskret  tasodifiy  miqdor  quyidagi  taqsimot  qonuni 
bilan  berilgan.
X
Y
3
10
12
4
0,17
0,13
0,25
5
0,10
0,30
0,05
Tashkil  etuvchilarning  taqsimot  qonunini  toping.
Javob:  X  
3 
10 
12 
Y  4 
5 
P  0,27 
0,43  0,30 
P  0,55 
0,45
2. 
Ikki  o'lchovli  diskret  tasodifiy  miqdor  quyidagi  taqsimot  qonuni 
bilan  berilgan.
X
V
26
30
41
50
1,3
0,05
0,12
0,08
0,04
2,7
0,09
0,30
• 
0,11
0,21

Javob:  X  
26 
30 
41 
50 
Г 
1,3 
2,7 
P 
0,14  0,42  0,19  0,25  P 
0,29  0,71
3. 
(X,Y)  ikki  o'lchovli  tasodifiy  miqdorning  X  tashkil  etuvchisi 
X<\ / 2,   У tashkil  etuvchi  esa  Y< 1/3  qiymatlarni  qabul  qilish  ehtim o­
lini toping.  (X,Y)  ikki  o'lchovli  tasodifiy  miqdorning taqsimot  funksiya­
si  quyidagicha  aniqlangan:
, 
i 1
 
, 
( 1
 
,
F i x . у )  -   I  — a rc tg lx  + —  • I  — circtgjy + —
- /
n 
' 
2
Javob:  P { X  < 1 / 2 ; Y   < > / 3 }   =  9/ 16.
4.  Agar  (X,Y)  ikki  o ‘lchovli  tasodifiy  m iqdorning  taqsim ot 
fu n k s iy a s i 
m a ’lu m  
b o ‘ls a , 
( X , Y )  
ta s o d if iy  
n u q ta n in g
x  = l. 
x  = 2, 
y  = 3, 
у  = 5  to ‘g‘ri  chiziqlar  bilan  chegaralangan 
to ‘rtburchakka  tushish  ehtim olini  toping.
t- v,  x > 
0
,  y >  
0
;
.Y < 
0
  yoki  v < 0.
Javob:  P= 3/128.
5.  Agar  (X, Y)  ikki  o ‘lchovli  tasodifiy  m iqdorning  taqsim ot 
funksiyasi
_ 
-2~>'  +2-*-y ,  .y >
0
. 
у > 
0;
F(x.y) ~
x < 
0
  yoki  у  < 0.
b o ‘lsa,  (X, Y)  tasodifiy  nuqtaning  uchlari  A (l;3 ),  V(3;3)  va  S(2;8) 
nuqtalarda  joylashgan  uchburchakka  tushish  ehtim olini  toping.
\ln2 2 ■