Xarakteristika funksiya va xossalari

1-misol. Agar bir ehtimol blan  bo’lsa,  bo’ladi.
2-misol. Faraz qilaylik,  tasodifiy miqdor uchun  bo’lsin, u xolda 
3- misol. O’zaro bog’liq bo’lmagan bir xil taqsimlangan  tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi berilgan bo’lsin va

Quyidagi  yig’indini  tuzamiz. U holda 3- xossaga ko’ra

Agar normallashtirilgan va markazlashtirilgan

Tasodifiy miqdorni olsak, u holda 2-xossaga asosan

4-misol. Faraz qilaylik,  standart N(0,1) normal qonun bo’yicha taqsimlangan bo’lsin. U xolda

Agar  tasodifiy miqdor normal qonun bo’yicha taqsimlangan bo’lsa, u holda 2-xossaga asosan

Buni  o’zingiz  mustaqil  isbotlashga  urinib  ko’ring.
2. Xarakteristik funksiya orqali taqsimot funksiyani ifodalash formulasi
Har bir tasodifiy miqdor uchun unga mos xarakteristik funksiya mavjudligini avvalgi paragrafda ko’rdik. Turli taqsimot funksiyalarga turli xarakteristik funksiyalar mos keladi hamda taqsimot funksiya xarakteristik funksiya orqali bir qiymatli aniqlanadi.
Teorema. Agar  funksiyalar mos ravishda  tasodifiy miqdorning xarakteristik va taqsimot funksiyalari bo’lsa hamda  va  funksiyaning uzluksiz nuqtalari bo’lsa, u holda

Bu teoremadan quyidagi atijani isbotlash mumkin: agar  absolyut integrallanuvchi bo’lsa, u holda  mavjud, uzluksiz, chegaralangan va 
Isbot. Quyidagi integralni hisoblaymiz:

Agar integral ostidagi funksiyalarning  oraliqda chegaralanganini e’tiborga olsak,

Matematik analiz kursidan ma’lumki,

Ushbu
ifoda c bo’yicha tekis chegaralangandir. Demak,

Bevosita ishonch hosil qilish mumkinki,  va  lar uchun

Natijada

Shu bilan birga  dan va  funksiyaning juftligidan

Agar  va  nuqtalarni  funksiyaning  uzluksiz  nuqtalari ekanligini e’tiborga olsak, oxirgi tenglikdan

ifoda hosil bo’ladi. Agar  integralni

ko’rinishda ifodalash mumkinligini e’tiborga olsak,  ,  lardan va oxirgi tenglikdan teorema isboti kelib chiqadi.