Xosmas integraliga doir mashqlar Reja

2. Integrallash oralig`i chekli bo`lib integral osti funksiya
chegaranmagan hol


1 . Aytaylik, f(x) funksiya [a;b) oraliqda uzluksiz bo`lib, oraliqning o`ng uchida cheksiz katta, ya`ni f(b-0)= bo`lsin. U holda b-[a;b) shartni qanoatlantiruvchi har bir musbat  uchun aniq integral mabjuddir. Agar +0 da bu integralning chekli limiti mabjud bo`lsa, bu limit f(x) funksiyaning [a;b) oraliq bo`yicha xosmas integrali deyilib, bilan belgilanadi. Bu belgilash aniq integral belgisidan farq qilmaydi, ammo bu yerda f(x) integrallash oralig`ida chegaralanmagan ekanligini unutmaslik kerak.
Demak, ta`rif bo`yicha
. (5)
2-misol. integral hisoblansin.
Yechish. da uzluksiz , ammo f(1-0)=+ ya`ni cheksiz katta.



Demak, bu integral xosmasdir.




2. Xuddi yuqoridagiga o`xshash f(x) funksiya (a;b] oraliqda uzluksiz bo`lib, f(a+0)= bo`lsa, xosmas integralni
(6)
ko`rinishda ta`riflaymiz.
3. Agar f(x) funksiya (a;b) oraliqda uzluksiz bo`lib f(a+0)=, f(b-0)= bo`lsa, c (a;b) ixtiyoriy nuqta yordamida xosmas integralni
(7)



ko`rinishda ta`riflaymiz.
3. Umumiy hol
Agar f(x) (a;b) oraliqning chetki va ba`zi bir ichki c<sub>12</sub><…<sub>n</sub> (a;b) nuqtalarida ham cheksiz katta bo`lib, (c_i-1;c_i) oraliqlarning har birida uzluksiz bo`lsa, xosmas integralni
(8)
ko`rinishda ta`riflaymiz, bu yerda c<sub>0</sub>=a, c<sub>n+1</sub>=b deb qabul qilinadi. Bu yerda yana shuni ham aytamizki, (8) da a=-;b=+ bo`lishi ham mumkin va bu holda x da f(x) ning cheksiz katta bo`lishi talab qilinmaydi.
Eslatma. (5)- (8) xosmas integrallar uchun ham yuqorida ko`rilgan yaqinlashish belgilari o`z kuchida qoladi. (7) va (8) lar uchun bu belgilar har bir oraliqda alohida qaralishi lozimdir.
4-misol. xosmas integralning yaqinlashishi tekshirilsin.
Yechish. funksiya x₁= -1, x₂=0 va x₃=1 nuqtalarda cheksiz kattadir, (-;-1) (-1;0), (0,1) va (1;+) oraliqning har birida uzluksizdir.

Demak, (8) ga asosan

Integral osti funksiyasi juftligidan

tengliklar, ular mabjud bo`lgan taqdirda, o`rinlidir (12.7) ga asosan
1)
ko`rinishda yozib olamiz. U holda
a)

yaqinlanuvchi. Demak, yuqoridagi eslatmaga ko`ra va 2 - teoremaga asosan ning yaqinlanuvchi ekanligi kelib chiqadi.
b) ,

ham yaqinlashuvchidir (yuqoridagidek ko`rsatiladi).
demak, yaqinlashuvchidir.
2)
a) ,
- yaqinlashuvchi (yuqoridagidek ko`rsatiladi),
demak, yaqinlashuvchi
b) va
yaqinlashuvchi 2-misolga qarang, bundan 12.4- teoremaga asosan ning yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.
Demak, yaqinlashuvchi.
Shunday qilib, xosmas integralning yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.