Xosmas integrallar

Eslatma. в (a, b) ning to’plamda
notekis yaqinlashuvchiligini ko’rish qiyin emas.
2⁰. в (a, b) funksiya






to’plamda uzluksiz funksiyadir. Haqiqatan ham,
integralning m ₀ to’plamda tekis yaqinlashuvchi bo’lishidan va integral ostidagi funksiyaning da uzluksizligidan teoremaga asosan в (a, b) funksiya
to’plamda uzluksiz bo’ladi.
3⁰. uchun в (a,ь) = в (b, a) bo’ladi. Darhaqiqat
integralda x= 1 -t almashtirish baj arilsa, unda bo’lishini topamiz.
4⁰. в (a, b) funksiya quyidagicha ham ifodalanadi;
(2)
Haqiqatan ham, (1) integralda almashtirish bajarilsa, u holda
bo’ladi. Xususan, bo’ganda
(3)
bo’ladi (3) munosabatdan quyidagini topamiz:

5⁰.
uchun
(4)
bo’ladi
(1) integralni bo’laklab integrallaymiz:


.
Agar

ekanligini e’tiborga olsak, u holda
bo’lib,
Natijada bo’ladi. Bu tenglikdan esa

bo’lishini topamiz. Xuddi shunga o’xshash uchun
bo’ladi. Xususan, bo’lganda
bo’lib (4) formulani takror qo’llab, quyidagini topamiz.

Ravshanki,

Demak,
(5)
Agar (5) da bo’lsa, u holda



2. Gamma funksiya va uning xossalari
Biz
(6)
xosmas integralni qaradik. Bu chegaralanmagan funksiyaning da x=0 maxsus nuqta) cheksiz oraliq bo’yicha olingan xosmas integrali bo’lishi bilan birga a ga (parametrga) ham bog’liqdur. O’sha yerda (6) xosmas integralning da, yaqinlashuvchi, da, ya’ni da uzoqlashuvchi
bo’lishi ko’rsatildi.