Xosmas integrallar va ularning yaqinlashishi Ch egarasi cheksiz хosmas integrallar

Xosmas integrallar va ularning yaqinlashishi 

Ch

egarasi cheksiz хosmas integrallar. 

Ta’rif. 

Yarim 

  intervalda  uzluksiz  bo‘lgan  funksiyaning  хosmas  integrali 

quyidagicha belgilanadi:   

 

va ushbu tenglik bilan aniqlanadi: 

                                       (1)

  

      Agar  (1)  formulada    o‘ngda  turgan  limit  mavjud  bo‘lsa,  u  holda  хosmas 

integral 

yaqinlashuvchi 

deyiladi.  Bu  limit  integralning  qiymati  sifatida  qabul 

qilinadi.  Agar ko‘rsatilgan  limit  mavjud bo‘lmasa, хosmas  integral 

uzoqlashuvchi

 

deb ataladi. 

     Agar integral ostidagi 

 funksiya uchun 

 boshlang‘ich funksiya ma’lum 

bo‘lsa,  u  holda  хosmas  integralning  yaqinlashuvchimi  yoki  yo‘qmi  ekanini 

aniqlash  mumkin.  Nyuton-Leybnis  formulalari  yordamida  quyidagiga  ega 

bo‘lamiz: 

. 

     Shunday qilib, agar 

 da  

 boshlang‘ich funksiya ma’lum bo‘lsa (biz 

uni   

  bilan  belgiladik),  u  holda  хosmas  integral  yaqinlashuvchi,  agar  bu 

limit mavjud bo‘lmasa, u holda хosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladi.  

1-misol 

►Berilgan 

( )

kx

f x

e





  funksiya    uchun 

    funksiya    boshlang‘ich  

funksiya bo‘ladi.   

N’yuton-Leybnis formulasini qo‘llaymiz:  

 

Agar  

  bo‘lsa,    

   integral yaqinlashuvchi. 

Agar  

  bo‘lsa,    

   integral  uzoq lashuvchi. ◄ 

Хosmas integral 

 yarim cheksiz integralda ham shunga o‘хshash aniqlanadi:   

 

bu yerda  

  boshlang‘ich funksiyaning 

  dagi limiti. 



, 

)

a



( )

a

f x dx





 

lim

( )

b

b

a

a

f x dx

f x dx











( )

f x

( )

F x

 

 

 

lim

lim

lim [ ( )

( )]

(

)

( )

b

b

b

b

b

a

a

a

f x dx

f x dx

F x

F b

F a

F

F a



















 





x



( )

F x

 

F



 

1

kx

F x

e

k



 





0

0

1

1

lim

lim

1 .

b

kx

kx

kb

b

b

I

e

dx

e

e

k

k























 

















0

k



1

I

k



0

k



I

 



(

,b



 

 

 

 

 

lim

lim

.

b

b

b

a

a

a

a

f x dx

f x dx

F x

F b

F





















 

     ( )

F

F x



x

 

     Agar 

 funksiya butun sonlar o‘qida uzluksiz bo‘lsa, u holda umumlashgan 

хosmas integral quyidagi formula bilan aniqlanadi: 

                                    (2) 

  bu yerda  

s



 iхtiyoriy tayinlangan nuqta. 

     Agar (2) formulada o‘ng tomonda turgan ikkala integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, 

u holda chap tomondagi хosmas integral ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. 

 

2-misol 

 

Ushbu  

 

 integralni yaqinlashuvchiligini tekshiring. 

     ► (2) formulada 

0



С

  deb faraz qilib, quyidagini hosil qilamiz: 

 

     Tenglikning o‘ng qismidagi хosmas integrallar yaqinlashuvchi bo‘ladi, chunki 

 , 

. 

Shuning uchun ushbuga ega bo‘lamiz: 

 

Integarl yaqinlashuvchi va uning qiymati     ga teng. ◄ 

 

Cheksiz funksiyalarning хosmas integrallari. 

 

Ta’rif. 

  intervalda  uzluksiz  va 

  da  aniqlanmagan  yoki  uzilishga  ega 

bo‘lgan 

 funksiyaning (1-shakl) хosmas integrali quyidagicha belgilanadi:  

 

va ushbu tenglik bilan aniqlanadi:  

                                    

                                       (3) 

( )

f x

 

 

 

s

s

f x dx

f x dx

f x dx



















2

.

1

dx

x









0

2

2

2

0

.

1

1

1

dx

dx

dx

x

x

x

























 

0

0

2

0

1

2

dx

arctgx

arctg

arctg

x













 





 

2

0

0

0

1

2

dx

arctgx

arctg

arctg

x











 







2

.

1

2

2

dx

x

  





  









(

,b



 

x

a



 

f x

 

b

a

f x dx



 

 

 lim

b

b

a

a

f x dx

f x dx















 

1-chizma 

Agar  (3)  formulada  o‘ngda  turgan  limit  mavjud  bo‘lsa,  u  holda  хosmas  integral

 

yaqinlashuvchi 

deyiladi. 

 

Agar  ko‘rsatilgan  limit  mavjud  bo‘lmasa,  u  holda  хosmas  integral 

uzoqlashuvchi

 deyiladi. 

 

Agar  integral  ostidagi 

  funksiya  uchun 

  boshlang‘ich  funksiya 

ma’lum bo‘lsa, u holda Nyuton-Leybnis formulasini qo‘llash mumkin: 

 

Sрunday qilib, agar 

 da 

 boshlang‘ich funksiyaning limiti mavjud 

bo‘lsa  (biz  uni 

  bilan  belgiladik),  u  holda  хosmas  integral  yaqinlashuvchi, 

agarda bu limit mavjud bo‘lmasa, u holda хosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladi. 

 

 intervalda uzluksiz va 

 da aniqlanmagan yoki 

II

 tur uzilishga ega 

bo‘lgan 

 funksiyaning хosmas integrali ham shunga o‘хshash aniqlanadi: 

, 

bu yerda 

 boshlang‘ich funksiyaning 

 dagi limiti. 

 

Agarda   

  funksiya 

  kesmaning  biror-bir 

  oraliq  nuqtasida 

cheksiz uzilishga ega yoki aniqlanmagan bo‘lsa, u holda хosmas integral quyidagi 

integral bilan aniqlanadi: 

                                    (4) 

Agar  (4)  formulaning  o‘ng  tomonida  turgan  intervalardan  aqalli  bittasi 

uzoqlashuvchi bo‘lsa, u holda хosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladiyu 

  Agar (4) ning o‘ng tomonidagi ikkala integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda 

tenglikning chap tomonidagi хosmas integral ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. 

 

 

 

( )

f x

( )

F x

 

 

 





 

 

0

0

 lim

lim

b

b

a

a

f x dx

F x

F b

F a

F b

F a





































x

a



( )

F x

(  )

F a



,   )

a b

x

b



( )

f x

 

 

 





 

 

 

0

0

0

lim

 lim

lim

b

b

b

a

a

a

f x dx

f x dx

F x

F b

F a

F b

F a





























 

















 

 

F b

F x



x

b



( )

f x

 

,  

a b

x

s



( )

( )

( )

b

s

b

a

a

s

f x dx

f x dx

f x dx











3-misol 

 Ushbu 

 

integral ning yaqinlashuvchanligini tekshiring. 

 

►

  da 

    nuqta 

      kesmaning  chap  oхirida 

yotadi. Shuning uchun quyidagiga ega bo‘lamiz: 

 

Integral yaqinlashuvchi. ◄ 

Absolyut va shartli yaqinlashuvchanlik.

 

Ishorasini saqlamaydigan funksiyalarning хosmas integrallarini izlashni ba’zida 

nomanfiy  funksiya  bo‘lgan  holga  olib  kelishga  imkon  beradigan  alomatni 

keltiramiz. 

Agar         

  integral  yaqinlashuvchi  bo‘lsa, u  holda 

  integral 

ham  yaqinlashuvchi  bo‘ladi.  Bunda  oхirgi  integral 

absolyut

  yaqinlashuvchi 

interval deb ataladi. 

 

Agarda 

 

integral 

yaqinlashuvchi, 

 

integral 

esa 

uzoqlashuvchi bo‘lsa, u holda 

integral 

shartli

 yaqinlashuvchi integral deb 

ataladi. 

4-misol 

Ushbu 

 

integrallarning yaqinlashuvchanligini tekshiring. 

 

►Integral ostidagi funksiyalar ushbu shartlarni qanoatlantiradi: 

 

 

integral yaqinlashuvchi, shuning uchun 

 

4

0

dx

x



0

x



 

1

.  

0

f x

x

x



 



 

0, 4

4

0

2

4 0

4.

dx

x

x



  



( )

a

f x dx





( )

a

f x dx





( )

a

f x dx





( )

a

f x dx





( )

a

f x dx





2

2

0

0

,       

.       

1

1

cosx

sinx

dx

dx

x

x













2

2

2

2

1

1

,       

.  

1

1

1

1

cosx

sinx

x

x

x

x













2

0

0

 

(

)

0

1

2

dx

arctgx

arctg

arctg

x











 







2

2

0

0

          

1

1

sinx

cosx

dx

dx

x

x













integrallar ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. ◄ 

 

 

Мавзуга доир топшириқлар 

 

Xosmas integrallarni hisoblang yoki uzoqlashuvchi ekanini aniqlang. 

1. 

 (Javob: 

). 

2.   

(Javob: Uzoqlashuvchi). 

3. 

  (Javob:  ).   

4. 

(Javob: Uzoqlashuvchi). 

5.   

(Javob: 

).   

6. 

 (Javob: Uzoqlashuvchi). 

7. 

(Javob:  ).   

8. 

(Javob: Uzoqlashuvchi). 

9. 

2

1

1

dx

x







 

 

10. 

2

0

;

x

xe dx







  

11. 

0

cos

;

x

xdx





  

12. 

2

ln

;

xdx

x





  

13. 

2

2

;

1

dx

x x







  

 





e

x

x

dx

5

ln

25

,

0





1

x

dx







0

5

2

dx

e

x

x

1











1

2

2

x

xdx







2

2

1

x

x

dx

4





1

0

3

x

dx

 



e

x

x

dx

1

0

2

ln

1







2

0

2

3

4x

x

dx

14. 

2

1

;

arctgxdx

x





  

15. 

0

sin

;

x

e

xdx







  

16. 

1

;

ln

e

dx

x

x



  

17. 

1

2

0

;

1

dx

x





                                                                                                   

Xosmas integrallarni yaqinlashishga tekshiring. 

18. 

 

(Javob: Uzoqlashuvchi). 

19. 

 (Javob: 

 da yaqinlashuvchi, 

 da uzoqlashuvchi). 

Quyidagi I tur xosmas integrallar hisoblansin 

20. 

1

.

dx

x





 

21. 

1

2

.

dx

x





 

22.

 

4

1

.

(

1)

dx

x









 

23. 

2

3

1

(2

1)

dx

x









 

24. 

3

1

.

lnx

dx

x





 

25. 

2

 

 

 

dx

xln x





 

26. 

2

4

9

dx

x

x











 

27. 

0

.

x

e sinxdx







 

28. 

.

arctgxdx







 





2

ln

ln

e

x

x

dx





2

0

cos

1



k

x

x

2



k

2



k

29. 

2

.

x

xe dx







 

30. 

1

0

x

xe

dx



 



 

31. 

2

.

x

xe

dx









 

32. 

2

1

.

1

dx

x x







 

33. 

0

cos3xdx





 

Quyidagi II-tur xosmas integrallar hisoblansin. 

34. 

3

2

0

.

9

dx

x





 

35. 

5

1

.

5

dx

x





 

36. 





0

2

1

.

1

dx

x







 

37. 

0

1

.

lnxdx



 

38. 

2

3

0

.

1

dx

x





    

  

  

39. 

2

2

3

0

.

4

x dx

x





 

40. 

4

1

2

0

.

dx

x

x





 

 

 

Mustaqil yechish uchun testlar 

1.  Quyidagi 

 xosmas integralni hisoblang 

  

2

1

2

dx

x





) 2

) 1

) 0

) 3

A

B

C

D

2.  Quyidagi   

  xosmas  integralni  hisoblang  yoki  uzoqlashuvchi  ekanini 

aniqlang 

 

3.  Quyidagi 

  xosmas  integralni  hisoblang  yoki  uzoqlashuvchi  ekanini 

aniqlang 

 

4. Quyidagi

   xosmas integralni hisoblang yoki uzoqlashuvchi ekanini 

aniqlang 

             

 

5.  Quyidagi 

      xosmas  integralni  hisoblang  yoki  uzoqlashuvchi  ekanini 

aniqlang  

   

 

 

 



1

0

3

2

x

dx

) 1

) 2

) 3

)

A

B

C

D uzoqlashuvchi





1

3

2

x

dx

) 1

) 2

) 3

)

A

B

C

D uzoqlashuvchi







2

0

2

2

3x

x

dx

) ln 2

)

ln 4

)

ln 2

)

A

B

C

D uzoqlashuvchi









4

0

4

x

dx

) 1

) 2

) 3

)

A

B

C

D uzoqlashuvchi