Xulosa Foydalanilgan adabiyotlar Kirish Mavzuning dolzarbligi

5. Rikkati differensial tenglamasi
Umumlashgan Rikkati tenglamasi deb ushbu tenglamani aytiladi:
(2.16)
Bunda P, Q, R berilgan bo’lib, ular x ning funksiyalaridan iboratdir.
P=0 bo’lsa, (2.16) tenglamadan

Birinchi tartibli chiziqli tenglama hosil bo’ladi.
Agar R=0 bo’lsa, ushbu Bernulli differensial tenglamasi hosil bo’ladi:
(2.16) ni quyidagicha yozib olaylik
(2,17)
(2.17) tenglamaning o’ng tomoni
sohada aniqlangan va uzluksiz bo’lib,y bo’yicha uzluksiz differensiallanuvchi,chunki

O’ng tomondagi funksiya D sohada aniqlangan va uzluksiz funksiya D sohada aniqlangan va uzluksiz funksiyadan iboratdir. Demak D sohada Koshi teoremasining shartlari o’rinli. D sohaning ixtiyoriy olingan , nuqtasidan Rikkati tenglamasining bitta integral chizig’i o’tadi.
2.2-Teorema. Agar (2.16) Rikkati tenglamasining bitta xususiy yechimi ma’lum bo’lsa, bu tenglama kvadraturalarda integrallanadi.
Isboti. Faraz qilaylik funksiya (2.16) tenglamaning biror xususiy yechimi bo’lsin, ya’ni:
(2.18)
Ayniyat o’rinli bo’ladi.
Endi y=y₁+z ko’rinishdagi almashtirish bajaramiz:


bo’ladi.
(2.18) tenglikka asosan z no’malumni toppish uchun esa

Tenglamaga ega bo’lamiz, bu esa Bernulli differensial tenglamasidan iborat bo’lib, ikkita kvadratura bilan integrallanadi. Tenglamani har ikkala tomonini ga bo’lib, so’ngra
(2.19)
almashtirish bajarsak:

(2.20)
bo’ladi. Bu chiziqli tenglamaning umumiy integrali
(2.21)
ko’rinishda bo’ladi. Endi eski o’zgaruvchiga tenglik orqali qaytsak, (2.16) tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha bo’ladi:

1. Misol. tenglama Rikkati differensial tenglamasi bo’lib, uning xususiy yechimini ko’rinishda izlash maqsadga muvofiqdir. Bundan

Bundan ekanligi kelib chiqadi. Ravshanki

Ham berilgan tenglamaning xususiy yechimi bo’ladi.
Agar ni olsak, u holda

Almashtirish bajarib, tegishli Bernulli tenglamasi

ko’rinishda bo’ladi.
Endi desak, tenglamaga kelamiz. Bu esa o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadir. Uning umumiy yechimi:
ko’rinishda bo’lib,
Almashtirishlar yordamida berilgan Rikkati tenglamasining umumiy yechimi ushbu ko’rinishda bo’ladi:
(C=const)
2-misol. tenglama Rikkati tenglamasining tipidan bo’lib, bunda

da aniqlangan uzluksiz funksiyalardir.
funksiya tenglamani qanoatlantirishini tekshirib ko’rish qiyin emas. Shuning uchun,

Almashtirish bajarsak,bundan

Bularni berilgan tenglamaga qo`yilsa , ushbu Bernulli tenglamasini hosil qilamiz :

Bu tenglamani integrallash uchun ikkala tomonini z ga bo`lib , so`ngra

deb faraz qilamiz , bundan ushbu chiziqli tenglamani hosil qilamiz ;

Bu tenglamaning umumiy yechimi esa

bo`ladi.

bo`lgani uchun

bundan
, (C=const)
Berilgan tenglamaning umumiy integrali shuning o`zi bo`lib, u ixtiyoriy o`zgarmasga nisbatan chiziqli ratsional funksiyadan iboratdir.
Xulosa

Xulosa qilib aytadigan bo’lsak chiziqli differensial tenglama deb no’malum funksiya va uning hosilasi birinchi darajada bo’lgan, umumiy ko’rinishi

bo’lgan birinchi tartibli differensial tenglamaga aytilar ekan. Bunday tenglamani
ko’rinishida ham yozish mumkin ekan.
Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimini toppish uchun fo’rmuladan foydalanamiz.
Chiziqli differensial tenglamalarni o’rganish muhim hisoblanadi. Chunki ko’plab differensial tenglamalarni yechish aynan chiziqli differensial tenglamalarni yechishga keltiradi. Misol uchun bunday differensial tenglamalarga misol qilib Bernulli va Rikkati tenglamalarini yoki differensial tenglamalar sistemasini Dalanber usulida yechish va boshqalarni misol qilib olishimiz mumkin.
Xulosa qilib aytadigan bo’lsak Koshi masalasi bu differensial tenglama umumiy yechimining x=x₀ da y=y₀ boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini toppish ekan.
Xulosa qilib aytadigan bo’lsak qaralayotgan sohada berilgan differensial tenglamamiz yechimga egami yoki yo‘qmi va agar yechim mavjud bo‘lsa, yagonami ya’ni differensial tenglama y(x₀)=y₀ shartni qanoatlantiradimi degan savollarga javob beradigan teoremalar mavjudlik va yagonalik teoremalari deb yuritilar ekan.