Xulosa Foydalanilgan adabiyotlar Kirish Mavzuning dolzarbligi

2 - Teorema. Bir jinslimas (1) differensial tenglamaning umumiy yechimi ushbu tenglama biror y₀(x) xususiy yechimi va mos bir jinsli (2) tenglama umumiy yechimlari yig`indisiga teng.
(1) tenglama biror-bir xususiy yechimini ixtiyoriy o`zgarmasni variantsiyalash usulida qurish mumkin.
Agar (1) tenglamaning o`ng tomoni f(x) = P(x)·e<sup>αx</sup> ko`rinishda bo`lsa, bu yerda, P(x) - ko`phad, u holda tenglamaning xususiy yechi-mini qu-rishning oddiy usuli mavjud.
I hol: Agar α xarakteristik tenglamaning ildizlaridan biri bo`lmasa, xususiy yechim у = Q(x)·e<sup>αx</sup> ko`rinishda qidiriladi. Bu yerda: Q(x) - darajasi P(x) ning darajasiga teng aniqmas koeffitsiyentli ko`phad. у = Q(x)·e<sup>αx</sup> ifoda (1) tenglamaga qo`yiladi, e^αx ga qisqartirilgandan so`ng, ko`phadlar tengligidan, Q(x) ko`phadning aniqmas koeffitsiyentlari aniqlanadi.
Misol. y" - 6y′ + 8y = (3x - l)·e<sup>x</sup> tenglamaning xususiy yechimini toping.
Ushbu holda a = 1, xarakteristik tenglama ildizlari esa 2 va 4 ga teng. Masala yechimini у = (ax + b)·e<sup>x</sup> ko`rinishda qidiramiz. Funksiya hosilalarini aniqlaymiz:
y′ = a·e^x + (ax + b)·e^x = (ax + a + b)·e^x
y" = a·e^x + (ax + a + b)·e^x = (ax + 2a + b)·e^x
у, у′, у" ifodalarni tenglamaga qo`yiladi va e<sup>x</sup> ga qisqartirilgandan so`ng:
(ax + 2a + b) - 6 (ax + a + b) + 8 (ax + b) = x - 1 yoki
3ax - 4a + 3b = 3x - l.
Mos koeffitsiyentlarni tenglab, a = 1, b = -1 natijani olamiz. Izlana-yotgan xususiy yechim:
y = (х - 1)·е^х;
II hol: Agar α xarakteristik tenglamalardan biriga teng bo`lib, ikkinchisidan, farq qilsa, xususiy yechim у = x·Q(x)·e<sup>αx</sup> ko`rinishida izlanadi.
III hol: Agarda a xarakteristik tenglama ikki karrali ildizlariga teng bo`lsa, u holda xususiy yechim у = x<sup>2</sup>·Q(x)·e<sup>αx</sup> ko`rinishida qidiriladi.
4. Eyler Bernulli metodi.

1. 
   tenglamani yechishda bu metodda erkin o’zgaruvchi x ni o’zicha qoldirib, y noma’lum funksiyani esa
   

y=u*v, (1,2) shaklda izlash tavsiya etiladi, bu yerda u va v larning har biri x ning no’malum funksiyasi bo’lib, ulardan biri hozircha ixtiyoriydir: u=u(x), v=v(x),
(1.2) dan hosilani hisoblaymiz
(1.3)
(1.2) va (1.3) ni (1.1) ga qo’ysak
(1.4)
Endi u=u(x) funksiyani shunday tanlaymizki, natijada
(1,5)
Tenglik bajarilsin. (1.5) tenglama esa o’zgaruvchilari ajraladigan tenglama bo’lgani uchun, o’zgaruvchilarni ajratib

Bundan esa, integrallash natijasida:
yoki
(1.6)
Biz bu yerda soddaliknuqtai nazaridan ixtiyoriy o’zgarmas sonni kiitmadik.
Endi (1.5) ga asosan, (1,4) tenglama ko’rinishi bunday bo’ladi:

(1.6) tenglik bilan aniqlangan u ning o’rniga ifodasini qo’ysak,
yoki
bundan esa
(C=const), (1.7) (1.6) va (1.7) tengliklarni e’tiborga olib eski o’zgaruvchi y ga (1.2) tenglik bo’yicha qaytsak, natijada (1.1) tenglamaning umumiy integralini quyidagi ko’rinishda hosil qilamiz.
(1.8)
(1.8) umumiy yechimning tuzulishiga qaraganda u ikki kvadraturani talab qiladi.
Agarda (1.8) tenglikdagi kvadraturalarni bajarib, qavsni ochilsa, uning umumy ko’rinishi

bo’ladi. Bundan ko’rinadiki: birinchi tartibli chiziqli tenglamaning umumiy integrali-integrallash natijasida hosil bo’lgan ixtiyoriy o’zgarmasga nisbatan butun chiziqli funksiyadan iboratdir.
Misol. Ushbu chiziqli tenglama integrallansin:

Bu yerda
Eyler Bernulli metodiga muofiq
y=u*v, (1.10)
deb faraz qilsak bundan

Buni va (1.10) almashtirishi berilgan tenglamaga qo’ysak:

yoki v ning oldidagi koeffisentni nolga tenglashtirilsa,
yoki
yoki u(x)=x. (1.12)
(1.12) ga asosan (1.11) ning ko’rinishi

bo’ladi.Bundan esa

(C=const), (1.13)
(1.12) va (1.13) larni (1.10) ga qo’ysak, (1,9) tenglamaning ushbu ko’rinishdagi umumiy integralini hosil qilamiz:
(C=const), (1.14).