Xususiy hosilali differensial tenglamalar haqida asosiy tushunchalar. Xususiy hosilali differensial tenglamalarning umumiy yechimini topish

Ta`rif: Quyidagi ko`rinishdagi tenglamalarga kvazichiziqli tenglamalar deyiladi:
. (4)
Ta`rif: Tenglama chiziqli deyiladi, agarda u barcha xususiy hosilalarga va noma`lum funksiyaning o`ziga nisbatan ham chiziqli bo`lsa, ya`ni quyidagi ko`rinishga ega bo`lsa,
. (5)
Ushbu tenglamada - (5) tenglamaning koeffitsientlari, - (5) tenglamaning ozod hadi deyiladi va ular oldindan berilgan deb hisoblanadi.
Ta`rif: Agar (5) tenglamada bo`lsa, u holda bu tenglama bir jinsli tenglama deyiladi. Aks holda, agar bo`lsa, (5) tenglama bir jinsli bo`lmagan differensial tenglama deyiladi.

Biz va erkli o`zgaruvchilarni teskari almashtirish natijasida, ya`ni

, (6)
berilgan chiziqli tenglamaga ekvivalent bo`lgan va soddaroq ko`rinishga ega bo`lgan tenglamaga ega bo`lishimiz mumkin.
Buning uchun (3) tenglamada va erkli o`zgaruvchilardan yangi va o`zgaruvchilarga o`tamiz:
(7)
(7) ifodalarni (3) tenglamaga keltirib qo`yib, va o`zgaruvchilarga nisbatan (3) tenglamaga ekvivalent bo`lgan quyidagi tenglamani olamiz:
, (8)
bu yerda
,
,
,
Ta`rif: (9)
tenglama (3) tenglamaning xarakteristik tenglamasi deyiladi.


Ta`rif: (9) tenglamaning integrallari esa (3) tenglamaning xarakteristikalari deyiladi.
(9) tenglama quyidagi ikkita tenglamaga ajraladi:
(10)
. (11)
(9) yoki (10) va (11) yordamida berilgan (3)-tenglamaning xarakteristikalari topiladi.
Ta`rif: Agar qandaydir sohada bo`lsa, (3) tenglama giperbolik turga qarashli, agar sohada bo`lsa, berilgan (3) tenglama elliptik turga qarashli, agar sohada bo`lsa, parabolik turga qarashli deyiladi.
Shunday qilib, ifodaning ishorasiga qarab (3) tenglamani quyidagi kanonik ko`rinishlarga keltirilishi mumkin ekan.
(giperbolik turda), yoki .
(elliptik turda), .
(parabolik turda) .
Bu yerda soddalashtirish natijasida hosil bo`lgan funksiya.