Xususiy hosilali differensial tenglamalar haqida asosiy tushunchalar. Xususiy hosilali differensial tenglamalarning umumiy yechimini topish

Xususiy hosilali differensial tenglamalarning turi saqlanadigan sohada umumiy yechimini topish

Misol. Quyidagi tenglamaning turi saqlanadigan sohani topib, umumiy ychimini aniqlang: x²u_xx-y²u_yy=0.
- tenglama koeffisiyentlari. ifodaninig qiymatini hisoblaymiz. , hamma chorakda tenglamamiz giperbolik ekan. Yangi va o`zgaruvchilkarga o`tamiz :
, almashtirish yordamida berilgan tenglamani kanonik ko`rinishga keltiramiz. Kanonik ko`rinishi quyidagicha: .
Unda almashtirsh bajarib tenglamani yechamiz, natijada

yechimni olamiz. Dastlabki o`zgaruvchilarga qaytsak, biz izlayotgan umumiy yechim :

bo`ladi.


3. Asosiy masalalarning qo‘yilishi. Tebranish tenglamalari
(1)
issiqlik tarqalish tenglamasi
(2)
stasionar jarayonlar tenglamasi
(3)
ko‘rinishda bo‘ladi.
Biror fizik jarayonni to‘la o‘rganish uchun bu jarayonni tasvirlayotgan tenglamalardan tashqari, uning boshlang‘ holatini va jarayon sodir bo‘layotgan sohaning chegarasidagi holatini berish zarurdir.
Matematik nuqtai nazaridan bu narsa differensial tenglamalar echimining yagona emasligi bilan bog‘liq.
Hususiy hosilalai differensial tenglamalar uchun umumiy echimi ihtiyoriy funksiyalarga bog‘liq bo‘lib, bu funksilarning soni tenglama tartibiga teng bo‘ladi. Ihtiyoriy funksiyalar argumentlarning soni echimi argumentlarning sonidan bitta kam bo‘ladi.
Misollar:
1)
tenglamaning echimi

2)
tenglamaning yechimini topish uchun

almashtirish bajaramiz

Xuddi shunga o‘xshash, agar va o‘zgarmas sonlar bo‘lsa

tenglamaning umumiy echimi

bo‘ladi
3) Ushbu

tenglamaning umumiy echimi

bo‘ladi.
4)
bir jinsli bo‘lmagan, tenglamaning echimi

ko‘rinishda bo‘ladi
5) Uchinchi tartibli

tenglamaning umumiy echimi

dan iborat bo‘ladi.
Shunday qilib, aniq fizik jarayonni ifodalovchi achimni ajratib olish qo‘shimcha shrtlarni berish zarurdir. Bunday qo‘shimcha shartlar boshlang‘ich va chegaraviy shartlardan iboratdir.
Jarayon sodir bo‘layotgan soha bo‘lib, uning chegarasi bo‘lsin. ni bo‘laklari silliq sirt deb hisoblaymiz. bu asosi soha balandligi bo‘lgan silindir bo‘lsin, uning chegarasi yon sirti , quyi va yuqori asoslardan iborat.
Differensial tenglamnalar uchun, asosan uch tipdagi masalalar bir-biridan farq qiladi.
a) Koshi masalasi. Bu masala, asosan, giperbolik va parabolik tipdagi
tenglamalar uchun qo‘yiladi. soha butun fazo bilan ustma-ust
tushadi, bu holda chegaraviy shrtlar bo‘lmaydi.
в) Chegaraviy masala elliptik tipdagi tenglamalar uchun qo‘yiladi, da
chegaraviy shatrlar beriladi, boshlang‘ich shartlar tabiiy bo‘lmaydi.
г) Aralash masala elliptik tipdagi tenglamalar uchun qo‘yiladi:
bo‘lib boshlang‘ich va chegaraviy shratlar beriladi.
Koshi masalasi va uning qo‘yilishida xarakteristikalarning roli.
(1) tenglama uchun Koshi masalasi bunday qo‘yiladi:
Koshi masalasi: sinfga tegishli, yarim fazoda (1) tenglamani va da
(4)
boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi funksiya topilsin.
(2) tenglama uchun Koshi masalasi quyidagicha qo‘yiladi.
Koshi masalasi: sinfga tegishli, yarim fazoda (2) tenglamani va
(5)
boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi funksiya topilsin.
Keltirilgan Koshi masalasini umumlashtirish mumkin. Shu maqsadda o’zgaruvchili ikkinchi tartibli ushbu kvazichiziqli differensial tenglamani tekshiramiz:
(6)
Etarli siliq : sirt va bu sirtga urunma bo‘lmagan, uning har bir nuqtasida biror yo‘nalish berilgan bo‘lsin.
Koshi masalasi: sirtning biror atrofida (6) tenglamani va
(7)
Koshi shartlarini qanoatlantiruvchi funksiya topilsin. Bu umumlashtirilgan Koshi masalasidir.
Koshi masalasi qo‘yilishida sirtni xarakteristik sirt bo‘lmasligi muhimdir. Agar sirt xarakteristik sirt bo‘lsa, boshlang‘ich shartlarda verilgan va funksiyalar o‘zaro bog‘langan bo‘lib qoladi. Demak xarakteristik sirtda boshlang‘ich shartlarni ixtiyoriy berilishi mumkin emas. Bu holda Koshi masalasi umuman echimga ega bo‘lsa ham u yagona bo‘lmaydi.
Misol: Ushbu
(8)
tenglamaning
(9)
boshlang‘ich shrtlarni qanoatlantruvchi echimi topilsin.
Ravshanki, to‘g‘ri chiziqlar oilasi, jumladan ham berilgan tenglamaning xarakteristikalardan iborat. Demak boshlang‘ich shartlar xarakteristikada berilyapti tekshirilayotgan tenglamaning umumiy echimi
(10)
dan iborat. Umumiylikka ziton etkazmay deb hisoblashimiz mumkin.
Boshlang‘ich shartlarga asosan

Agar bo‘lsa oxirgi tenglikning bajarilishi mumkin amas, bu holda Koshi masalasi echimga ega bo‘lmaydi.
Shunday qilib, bo’l gandagina Koshi masalasi echimga ega bo‘ladi. Bu holda

bu erda sinifga tegishli va shartlarni qanoat-lantiruvchi funksiya.
Agar bo’lsa, Koshi masalasining echimi mavjud bo‘lib, u echim
(11)
formula bilan aniqlanadi lekin echim yagona emas.

Koshi Kovalevskaya teoremasi.

ta noma’lumli funksiyasi

(12)
differensial tenglamalar sistemasini qaraymiz . Bu holad (12) tenglamalar sistemasi o’zgaruvchiga nisbatan normal sistema deyiladi.
Agar funksiya, nuqtaning biror atrofida tekis yaqinlashuvchi
darajali qator bilan ifodalansa nuqtada analitik funksiya deyiladi.
Agar funksiya sohaning har bir nuqtasida analitik bo‘lsa sohada analitik deyiladi.
ga nisbatan normal sistema uchun Koshi masalasi bunday qo‘yiladi: (12) sistemaning da ushbu.
(13)
boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi echim topilsin. Bu erda -biror sohada berilgan funksiyalar.
Berilgan (13) boshlang‘ich shartlarga asosan funksiyalarida ishtirok etayotgan barcha hosilalarni hisoblash mumkin.

Koshi-Kovalevskaya teoremasi:

Agar barcha funksiyalan nuqtaning biror atrofida analitik, funksiya esa nuqtaning biror atrofida analitik bo‘lsa, u holda (12), (13) Koshi masalasi nuqtaning biror atrofida analitik achimga ega bo‘ladi, shu bilan bu echim analitik funksiyalar sinifida yagona bo‘ladi. Bu teorema analitik funksiyalar sinfida Koshi masalasining echimi etarli kichik sohada mavjud va yagona ekanligini tasdiqlaydi.
Xulosa

O‘qitish jarayonining samaradorligi ko‘p jihatdan o‘qituvchining o‘quvchilar bilan faoliyatini faollashtira olishiga bog‘liq. O‘quvchilarning dars jarayonidagi faolligi har xil bo‘lishi, ammo o‘quvchilar past o‘zlashtiruvchi bo‘lsa, ularni o‘qitishga qilingan harakat zoye ketishi ham mumkin.

O‘quvchilar bilimlarni qay darajada o‘zlashtirishi hamma vaqt ularning bilish faoliyati natijasi bo‘ladi. Ta’lim jarayoni o‘qituvchi bilan o‘quvchilar kelishib ishlaydigan tizim bo‘lishi kerak, bu tizimda o‘qituvchi rahbarlik qiladi, ammo natija o‘quvchilarning bilish faoliyatiga bog‘liq bo‘ladi.
Matematikani o’qitishda o‘quvchilarning tadqiqiy ko‘nikma va malakalarini tavsiyanomalar va har xil mazmundagi tarqatma materiallar to‘plami ishlab chiqildi. Har bir darsning mazmunli o‘tishi va sifat ko‘rsatkich darajasiga chiqish mezonlari ilmiy asosda tashkil qilindi.
Matematika va algebra nazariyasining ichki qonuniyatlari asosida har bir dars tuzilishini aniqlash orqali o’quvchilarda tadqiqiy ko‘nikmalarni shakllantirish ilmiy asosda tashkil qilindi. Natijada o’quvchilarning murakkab ko‘rinishdagi topshiriqlarni yechishga bo‘lgan qiziqishlari ortganligi aniqlandi.