Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning xossalari

Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning xossalari.
Ketma-ketliklar yig`indisi, ko`paytmasi va bo`linmasining limiti. Oraliq o`zgaruvchining limiti haqidagi teorema
Reja:


1. Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning xossalari.
2. Tenglik va tengsizlikda limitga o`tish.
3. Ketma-ketlilar yig`indisi, ko`paytmasi va bo`linmasining limiti
4. Mоnоtоn o`zgаruvchining limiti hаqidаgi tеоrеmа
1. Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning xossalari.

1⁰. Agar x_n =a va a>p (a bo`lsa, y holda biror nomerdan boshlab x<sub>n</sub> >p (x<sub>n</sub> bo`ladi.

Isbot. a>p bo`lsin, ni 0< tengsizlikni qanoatlantiradigan qilib olamiz. x<sub>n</sub>=a bo`lganidan >0 uchun n₀ natural son topilib, n>n₀ larda
a- _n bo`ladi. dan a- >p bo`lib, x_n>p ekanligi kelib chiqadi.
( a hol ham shu kabi qaraladi).
Natija. Agar x_n=a va a>0 (a<0) bo`lsa, u holda biror nomerdan boshlab x<sub>n</sub>>0 (x<sub>n</sub><0) bo`ladi.
2⁰. Yaqinlashuvchi ketma-ketlik yagona limitga ega.
Isbot. Faraz qilaylik (x_n) ketma-ketlik a va b limitlarga ega bo`lsin, bunda a. Haqiqiy sonlar to`plamining zichlik xossasiga binoan shunday r son mavjud bo`lib, a bo`ladi. x_n=a, a bo`lganligi uchun biror n<sub>1</sub> nomerdan boshlab, x<sub>nn</sub>=b, b>r bo`lganligi uchun biror n₂ nomerdan boshlab x_n>r bo`ladi. n<sub>0</sub>=max{n<sub>1</sub>,n<sub>2</sub>} deb olsak, n>n<sub>0</sub> larda x<sub>n</sub> va x<sub>n</sub>>r kelib chiqadi. Bu qarama-qarshilik farazimizning noto`g`ri ekanligini ko`rsatadi.
2⁰. Yaqinlashuvchi ketma-ketlik chegaralangan bo`ladi, yani M son mavjud bo`lib, barcha n lar uchun | x_n | tengsizlik o`rinlidir.
Isbot. x<sub>n</sub>=a bo`lsin. Biror >0 son olaylik. U holda biror nomerdan boshlab
a- _n tengsizlik o`rinli bo`ladi. |x₁|, |x₂|, …, | |, |a- |, |a+ | sonlarning eng kattasini M desak, ixtiyoriy n lar uchun |x_n| ekanligi kelib chiqadi. Bundan (x_n) ketma-ketlikning chegaralanganligi kelib chiqadi.