Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning xossalari

2. Tenglik va tengsizlikda limitga o`tish.

1. Agar barcha n lar uchun x_n=y_n bo`lib, x<sub>n</sub>=a, y<sub>n</sub>=b bo`lsa, u holda a=b bo`ladi.

Isboti limitning yagonaligidan kelib chiqadi.
2. Agar barcha n lar uchun x_n>y_n bo`lib, x<sub>n</sub>=a, y<sub>n</sub>=b bo`lsa, u holda a b bo`ladi.
Isbot. Faraz qilaylik a>b bo`lsin. a va b sonlar orasida r son olsak, a>r>b, x_n=a, a>r bo`lgani uchun biror n<sub>1</sub>, nomerdan boshlab x<sub>n</sub>>r, y<sub>n</sub>=b, b<r bo`lgani uchun biror n₂ nomerdan boshlab y_n bo`ladi. n<sub>0</sub>=max{n<sub>1</sub>,n<sub>2</sub>} deb olsak, n>n<sub>0</sub> larda x<sub>n</sub>>r va y<sub>n</sub> kelib chiqadi. Bundan x<sub>n</sub>>y<sub>n</sub> bo`ladi. Bu qarama-qarshilik farazimizning noto`g`ri ekanligini ko`rsatadi.
3.Agar barcha n lar uchun x<sub>n n</sub> < z<sub>n</sub> bo`lib, x_n= z_n=a bo`lsa, u holda y<sub>n</sub>=a bo`ladi.(isbotlang)
3. Ketma-ketlilar yig`indisi, ko`paytmasi va bo`linmasining limiti


Teorema. Agar (x _n) va (y _n) ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda
(x<sub>n</sub> y<sub>n</sub>) ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo`lib, (x_ny_n)= x_n y_n tenglik o`rinli .
Isbot. x<sub>n</sub> =a, y<sub>n</sub> =b desak, u holda x<sub>n</sub>=a+ <sub>n</sub>, y<sub>n</sub>=b+ <sub>n</sub> deb olish mumkin, bu yerda <sub>n</sub> va <sub>n</sub> lar cheksiz kichik miqdorlar.
x<sub>n</sub>y<sub>n</sub>=(a+ <sub>n</sub>)  (b+ <sub>n</sub>)=ab+ <sub>n</sub> <sub>n</sub> =ab+ <sub>n</sub>, bunda <sub>n</sub>= <sub>n</sub> <sub>n</sub> - 1 – lemmaga asosan cheksiz kichik miqdor. Demak, (x<sub>n</sub>y<sub>n</sub>)=ab= x<sub>n</sub> y<sub>n</sub>.
Teorema. Agar (x<sub>n</sub>) va (y<sub>n</sub>) ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo`lsa, (x_ny_n) ketma-ketlik ham yaqinlashuvchi bo`lib, (x<sub>n</sub>y<sub>n</sub>)= x<sub>n</sub> y<sub>n</sub> tenglik o`rinli .
Isbot. Oldingi teorema isbotidagi belgilashlarni kiritsak
x_ny_n=(a+ _n) (b+ _n)=ab+a _n+b _n + _{n n} =ab+ _n, bunda _n= a _n+b _n + _{n n} - 1,2 – lemmalarga asosan cheksiz kichik miqdor. Demak, (x_ny_n)=ab= x_n y_n.
Teorema. Agar (x_n) va (y_n) ketma-ketliklar yaqinlashuvchi va y_n 0 bo`lsa,
( ) ketma-ketlik ham yaqinlashuvchi bo`lib, tenglik o`rinli .


4. Mоnоtоn o`zgаruvchining limiti hаqidаgi tеоrеmа

Tеоrеmа: Аgаr {x_n} kеtmа-kеtlik mоnоtоn o`suvchi bo`lib u yuqоridаn chеgаrаlаngаn bo`lsа, u chеkli limitgа egа bo`lаdi.

Isbоti: Tеоrеmа shаrtigа ko`rа {x<sub>n</sub>} kеtmа-kеtligimiz yuqоridаn chеgаrаlаngаni uchun u o`zining аniq yuqоri chеgаrаsigа egа bo`lаdi. Fаrаz qilаylik a sоni {x<sub>n</sub>} kеtmа-kеtlikning аniq yuqоri chеgаrаsi bo`lsin, u hоldа (“Suprеmum”) sup{x_n}=a
Аgаr a sоni {x_n} kеtmа-kеtlikning аniq yuqоri chеgаrаsi bo`lsа quyidаgi ikkitа shаrt bаjаrilаr edi.
1. x_na
2. >0, N n>N bo`lgаndа a-<sub>N</sub>a bo`lаr edi.
Tеоrеmа shаrtigа ko`rа kеtmа - kеtlik o`suvchi bo`lgаnligi uchun x<sub>N</sub> < x<sub>n</sub> bo`lаdi. Mоnоtоn o`suvchi bo`lgаnligidаn а- < x_N  a tеngsizlik o`rinli bo`lаdi. Bu tеngsizlikdаn a-_n dеb yozishimiz mumkin yoki a-x_n< yoki x_n-a< bo`lаdi. Bu dеgаn so`z kеtmа - kеtlik limitining tа`rifigа ko`rа dеgаnidir.